Ahmed Abbes Directeur de recherche au CNRS Laboratoire Alexander Grothendieck, ERL 9216 du CNRS, IHÉS

Éléments de Géométrie Rigide Volume I. Construction et étude géométrique des espaces rigides Ahmed Abbes Progress in Mathematics, Vol. 286 Birkhäuser 1ère Édition, 2011, 496 p., Relié ISBN: 978-3-0348-0011-2

La géométrie rigide est devenue, au fil des ans, un outil indispensable dans un grand nombre de questions en géométrie arithmétique. Depuis ses premières fondations, posées par J. Tate en 1961, la théorie s'est développée dans des directions variées. Ce livre est le premier volume d'un traité qui expose un développement systématique de la géométrie rigide suivant l'approche de M. Raynaud, basée sur les schémas formels à éclatements admissibles près. Ce volume est consacré à la construction des espaces rigides dans une situation relative et à l'étude de leurs propriétés géométriques. L'accent est particulièrement mis sur l'étude de la topologie admissible d'un espace rigide cohérent, analogue de la topologie de Zariski d'un schéma. Parmi les sujets traités figurent l'étude des faisceaux cohérents et de leur cohomologie, le théorème de platification par éclatements admissibles qui généralise au cadre formel-rigide un théorème de Raynaud-Gruson dans le cadre algébrique, et le théorème de comparaison du type GAGA pour les faisceaux cohérents. Ce volume contient aussi de larges rappels et compléments de la théorie des schémas formels de Grothendieck. Ce traité est destiné tout autant aux étudiants ayant une bonne connaissance de la géométrie algébrique et souhaitant apprendre la géométrie rigide qu'aux experts en géométrie algébrique et en théorie des nombres comme source de références.

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In recent years, rigid geometry grew to be an indispensable tool in a large number of topics in arithmetic geometry. Since its initial foundation by J. Tate in 1961, the theory was developed in various directions. This book is the first volume of a treatise that presents a systematic development of rigid geometry following the approach of M. Raynaud, based on formal schemes up to admissible blow-ups. This volume is dedicated to the construction of rigid spaces in a relative situation and to the study of their geometric properties. Emphasis is put on the study of the admissible topology of a coherent rigid space, analogue of the Zariski topology of a scheme. Some of the topics treated are the study of coherent sheaves and their cohomology, the flattening theorem by admissible blow-ups that generalizes to the formal-rigid setting a theorem of Raynaud-Gruson in the algebraic setting, and the GAGA type comparison theorem for coherent sheaves. This volume contains also an extensive review and complements on Grothendieck's formal geometry. This treatise is accessible to research students with a good background in algebraic geometry who want to learn rigid geometry. As a reference source, it is also aimed at experts in algebraic geometry and number theory.