Le but principal du cours sera de montrer qu'un certain type de formules de Poisson non linéaires complètement explicites, qui est impliqué par le principe de fonctorialité de Langlands, permet de construire des "noyaux" du transfert automorphe d'un groupe réductif quasi-déployé vers un groupe linéaire, induit par une représentation arbitraire du groupe dual. Il y a donc équivalence entre le principe de fonctorialité et ces formules de Poisson non linéaires explicites.

Le cours abordera successivement les thèmes suivants : notion et construction partielle de noyaux du transfert, analyse spectrale de ces noyaux et lien avec les intégrales de Rankin-Selberg, réinterprétation des équations fonctionnelles locales de Jacquet, Piatetski-Shapiro et Shalika en termes de transformations de Fourier non linéaires, passage du principe de fonctorialité à des formules de Poisson non linéaires, construction en sens inverse de noyaux du transfert grâce à ces formules de Poisson non linéaires explicites, nouvelle construction de la fonctionnelle de Poisson sur les espaces linéaires de matrices et généralisation conjecturale au cas général de la fonctorialité, propriétés attendues des termes de bord et construction géométrique associée.

Plan du cours :

1. Notion de noyaux du transfert et construction de leur partie principale
2. Intégrales de Rankin-Selberg, facteurs L locaux et transformation de Fourier
3. Principe de fonctorialité et formules de Poisson non linéaires
4. Formules de Poisson non linéaires et noyaux du transfert automorphe
5. Nouvelle construction de la fonctionnelle de Poisson linéaire et généralisation non linéaire conjecturale

Référence :

Laurent Lafforgue, Noyaux du transfert automorphe de Langlands et formules de Poisson non linéaires, prépublication de l'IHÉS M/12/28 (2012)

Prérequis :

Laurent Lafforgue, Introduction à la théorie des fonctions automorphes et au principe de fonctorialité de Langands (2012)

Exposés introductifs donnés par Laurent Lafforgue à l'Université de Milan en décembre 2012 :
Exposé A : Corps globaux et anneaux d'adelès
Exposé B : Groupes réductifs et groupes duaux de Langlands
Exposé C : Fonctions automorphes, représentations automorphes et principe de fonctorialité

Notes et vidéos des exposés de Laurent Lafforgue à l'IHÉS :

Notes du premier cours (17 janvier 2013)

Notes du deuxième cours (24 janvier 2013)

Notes du troisième cours (31 janvier 2013)

Notes du quatrième cours (7 février 2013)

Notes du cinquième cours (14 février 2013)