Rencontre autour des Publications Mathématiques de l'IHÉS
Tuesday 22 January 2013
IHÉS, Marilyn and James Simons Conference Center
Organised by :
Claire Voisin (CNRS-IMJ, Paris)
Editor-in-chief of Les Publications Mathématiques de l'IHÉS
PROGRAMME
11:00 – 12:00
Anton Zorich (Paris 7)
"Sum of Lyapunov exponents of the Hodge bundle with respect to the Teichmüller geodesic flow" (joint work with A. Eskin and M. Kontsevich)
12:00 – 14:00
Buffet lunch
2:00 – 3:00
Irina Kourkova (UPMC)
"On the functions counting walks with small steps in the quater plane''
3:00 – 3:30
Coffee break
3:40 – 4:40
Emmanuel Breuillard (Paris-Sud)
"La structure des groupes approximatifs et le cinquième problème de Hilbert"
ABSTRACTS
Emmanuel Breuillard (Paris-Sud)
"La structure des groupes approximatifs et le cinquième problème de Hilbert"
Nous montrons un théorème de structure des sous-groupes approximatifs d'un groupe abstrait G, i.e. des grandes parties finies A de G vérifiant une condition de doublement (AA est recouvert par un nombre borné de
translatés de A). En bref les sous-groupes approximatifs sont « presque nilpotents''. Ce théorème s'apparente à la fois au théorème de structure des groupes localement compacts (cinquième problème de Hilbert: Gleason, Yamabe, Montgomery-Zippin) et au théorème de Gromov sur les groupes à croissance polynomiale. Les théoriciens des modèles (Hirschfeld, Goldbring-van-den-Dries) ont jeté un éclairage nouveau sur la preuve du cinquième problème de Hilbert et mis en évidence le lien avec les groupes approximatifs (Hrushovski) rendant possible l'adaptation des techniques de Gleason et Yamabe dans le cadre des groupes approximatifs. Travail en commun avec B. Green et T. Tao.
Irina Kourkova (UPMC)
"On the functions counting walks with small steps in the quater plane''
On considère le nombre de chemins $q_S((i,j),n)$ dans le quart de plan $({bf Z}_+)^2$ partant du point $(0,0)$, arrivant au point $(i,j)$ en $n$ pas dont les déplacements appartiennent à un sous-ensemble fixé $S subset {-1,0,1}^2/setminus {(0,0)}$. Il existe $2^8$ choix pour $S$ et donc $2^8$ modèles à étudier. Pour tous ces modèles nous explicitons la fonction génératrice $Q_S(x,y,z)=sum_{(i,j)in ({bf Z_+})^2, ngeq 0} q_S((i,j),n)x^iy^jz^n$ de manière unifiée et étudions ensuite sa nature en fonction de l'ensemble $S$: rationnelle, algébrique, holonome ou non-holonome. Le travail est commun avec Kilian Raschel. (see the pdf)
Anton Zorich (Paris 7)
"Sum of Lyapunov exponents of the Hodge bundle with respect to the Teichmüller geodesic flow" (joint work with A. Eskin and M. Kontsevich)
Various properties of dynamical systems on Riemann surfaces, of billiards in polygons, of measured foliations can be described in the language of the associated flat metric with conical singularities and with trivial holonomy. Such metric naturally defines a complex structure and a holomorphic 1-form on the Riemann surface. I will try to show how sophisticated geometric properties of the individual flat surface are related to simpler properties of the complex Teichmuller geodesic (or, more precisely, of its closure) in the moduli space of Abelian differentials.
