ERC Advanced Grant : AAMOT (Arithmetic of Automorphic Motives)

PI : Michael HARRIS

 

Inspiré par la conjecture de Deligne, on peut conjecturer une relation entre les valeurs spéciales de fonctions L de Rankin-Selberg et les périodes automorphes pour GLn * GLm sur un corps CM. Dans cet exposé, je vais introduire une nouvelle approche proposé par Michael HARRIS pour étudier cette relation. Je vais d’abord présenter les résultats connus. Puis, je vais expliquer comment la conjecture de Ichino-Ikeda implique les cas manquant. Il s’agit d'un travail en commun avec H. Grobner et M. Harris.

To every convex function $psi$ tending to infinity at infinity we can associate its moment measure, which is the image by the gradient of $psi$ of the measure with density $e^{-psi}$. We aim at characterizing all the measures that can be obtained as moment measure of some convex function. This will be done by studying a variational problem that is closely related to the one of optimal transportation theory. This variational problem can be studied using tools from the geometry of log-concave measures.

Thanks to recent progress in biotechnologies, the high-throughput data
in molecular biology are getting more
 and more interesting from the point of view of application of advanced
methods for data analysis, aimed
 at finding non-trivial topological characteristics in the data such as
branching points and holes. Existence
 of such non-trivial structures in the data can have direct biological
interpretations such as the process
 of cell fate decisions during cell differentiation or existence of
cyclic processes in a cell (e.g., cell cycle).

 I will present examples of application of such methods in studying
various biological systems and explain their general
 principles. I will focus on the universal method of elatic principal
graphs for topological data analysis developed by us.
 The method is based on application of the notion of harmonic graph
embedding into a multi-dimensional space,
 minimization of graph elastic energy and using graph grammars defining
a family of possible graph structures (such as trees).
 Simplest implementations of the approach already give very usefull
data approximators such as principal curves,
 principal closed curves, principal manifolds and principal trees.
Several ideas for making these data approximators
 robust to the noise and outliers in the biological data will be
presented.

On présentera une classe particulière de représentations des groupes des sphères épointées dans PSL(2,R) que nous appelons super-maximales. On montrera que ces représentations sont totalement non hyperboliques, dans le sens que les courbes fermées simples sont envoyées sur des éléments elliptiques ou paraboliques. On montrera également que les représentations super-maximales sont géométrisables par des orbifolds hyperboliques dans un sens très fort. Enfin, on montrera que les représentations super-maximales définissent des composantes compactes dans certaines variétés de caractères relatives, qui sont symplectomorphes à des espaces projectifs complexes, ce qui généralise un résultat de Benedetto-Goldman dans le cas des sphères moins quatre points. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Nicolas Tholozan.

I will discuss several questions and some results about algebraic flows, o-minimal flows and holomorphic flows on abelian varieties and Shimura varieties.

This is a joint work with Ivan Panin (St. Petersburg). Using the machinery of framed correspondences and framed sheaves developed by Voevodsky in the early 2000-s, a triangulated category of framed motives of smooth algebraic varieties is introduced and studied. To any smooth algebraic variety X we associate the framed motive Mfr (X), which is an object of this category. One of the main results states that the bispectrum
 

(Mfr(X), Mfr(X)(1), Mfr(X)(2), …)

each term of which is a twisted framed motive of X, has motivic homotopy type of the suspension bispectrum of X (this result is an A1-homotopy analog of a theorem of G. Segal). We also construct a triangulated category of framed bispectra and show that it reconstructs the motivic stable homotopy theory SH(k) in the sense of Morel-Voevodsky. As a topological application, it is shown that the framed motive of the point evaluated at the point yields an explicit model for the classical sphere spectrum whenever the base field is algebraically closed of characteristic zero. Over such a field an explicit model for the space Ω∞Σ∞Sn with Sn a sphere is given in terms of framed correspondences. This machinery also allows to recover in characteristic zero the celebrated theorem of Morel stating that the stable π 0,0(k) equals the Grothendiek-Witt ring of the field k.

In this talk, we show that the elliptic deformation of W-algebra is naturally realized using quiver gauge theory in six dimensions compactified on a torus. This construction is based on the gauge theoretical realization of W-algebra proposed in our previous study [arXiv:1512.08533]. In particular, double quantization of Seiberg-Witten geometry for Γ-quiver gauge theory provides a generating current of W(Γ)-algebra in the free field realization. We also show that the partition function is given by a correlator of the corresponding W(Γ)-algebra, which is equivalent to the AGT relation under the gauge/quiver (base/fibre; spectral) duality. This talk is based on a collaboration with V. Pestun [arXiv:1608.04651]

A simple étude on the mathematics of twistor integrals.

Il s‘agit d’un travail en commun avec Jeremy Kahn et Shahar Mozes. Nous montrons que les réseaux dans certains groupes de Lie non compacts — en particulier tous les groupes complexes — possèdent des sous-groupes isomorphes à des groupes de surfaces. Nous montrons de plus que ces sous-groupes sont « quasi-symmétriques » par rapport à un choix préalable d’un SL(2) en un sens à préciser. Nous donnerons quelques idées de la preuve, qui suit le schéma du travail fondateur de Kahn—Markovic, en insistant sur le nouvel outil : l’étude de triangles dans les variétés de drapeaux.

Nous discuterons de tores d’Einstein et de leurs intersections, à l’aide de la correspondance entre l’univers d’Einstein de dimension trois et l’espace des plans lagrangiens dans R^4 symplectique. Comme application, nous discuterons d’un critère pour que des surfaces appelées « surfaces croches » soient disjointes, en reliant ce critère à celui de Danciger-Guéritaud-Kassel.

(Travail conjoint avec Jean-Philippe Burelle, Dominik Francoeur et Bill Goldman.)

Soit X une courbe projective lisse et G un groupe réductif au dessus d'un corps de base k.

 

La correspondance de Langlands géométrique vise à comparer la catégorie des D-modules sur le champ Bun_G des G-fibrés sur X avec la catégorie des faisceaux quasi-cohérents sur le champ LocSys_{G^L}, où G^L est le groupe dual de G au sens de Langlands. On peut imaginer une telle équivalence comme une transformation de Fourier non-abélienne. Pour cette raison, elle est extrêmement difficile à démontrer. 

 

Cependant, si k est de caractéristique positive, les deux côtés deviennent assez proches de leurs limites quasi-classiques (à savoir, les espaces de Hitchin correspondants) que l'on peut comparer grace à la transformation de Fourier-Mukaï habituelle (c'est-à-dire, abélienne). Cette idée a été suggérée dans l'article de Bezrukavnikov-Braverman et puis développée par Bezrukavnikov, Chen, Travkin et Zhu.

 

Dans cet exposé j'expliquerai les idées principales de cette théorie, ainsi qu'une application à la théorie en caractéristique 0, à savoir la construction de faisceaux automorphes à partir des *opers*, selon un article récent de Bezrukavnikov-Travkin.