In the 1990's Broadhurst and Kreimer observed that many Feynman amplitudes in quantum field theory are expressible in terms of multiple zeta values. Out of this has grown a body of research seeking to apply methods from algebraic geometry and number theory to problems in high energy physics. This talk will be an introduction to this nascent area and survey some recent highlights.
 
Most strikingly, ideas due to Grothendieck (developed by Y. André) suggest that there should be a Galois theory of certain transcendental numbers defined by the periods of algebraic varieties.  Many Feynman amplitudes in quantum field theories are of this type.  P. Cartier suggested several years ago applying these ideas to amplitudes in perturbative physics, and coined the term `cosmic Galois group'.  One of my goals will be to describe how to set up such a theory rigorously, define a cosmic Galois group, and explore its consequences and unexpected predictive power.
 
Topics to be addressed will include:
 
1)  A Galois theory of periods, multiple zeta values.
2)  Parametric representation of Feyman integrals and their mixed Hodge structures.
3)  Operads and the principle of small graphs.
4)  The cosmic Galois group: results, counterexamples and conjectures.

A la fin des années 90, les liens entre transport optimal, entropie et courbure de Ricci étaient mis au jour (Jordan-Kinderlehrer-Otto, Otto-Villani); quelques années plus tard, ce liens étaient exploités pour démarrer l’étude systématique du « point de vue synthétique » de la courbure de Ricci (Lott-Sturm-Villani), un domaine en progression constante depuis lors. La résolution récente de plusieurs questions ouvertes majeures suggère que le moment est venu de faire un bilan; c’est l’objectif de ce cours. On y trouvera notamment une nouvelle preuve du théorème d’isopérimétrie de Lévy-Gromov (Cavalletti-Mondino).

In the 1990's Broadhurst and Kreimer observed that many Feynman amplitudes in quantum field theory are expressible in terms of multiple zeta values. Out of this has grown a body of research seeking to apply methods from algebraic geometry and number theory to problems in high energy physics. This talk will be an introduction to this nascent area and survey some recent highlights.
 
Most strikingly, ideas due to Grothendieck (developed by Y. André) suggest that there should be a Galois theory of certain transcendental numbers defined by the periods of algebraic varieties.  Many Feynman amplitudes in quantum field theories are of this type.  P. Cartier suggested several years ago applying these ideas to amplitudes in perturbative physics, and coined the term `cosmic Galois group'.  One of my goals will be to describe how to set up such a theory rigorously, define a cosmic Galois group, and explore its consequences and unexpected predictive power.
 
Topics to be addressed will include:
 
1)  A Galois theory of periods, multiple zeta values.
2)  Parametric representation of Feyman integrals and their mixed Hodge structures.
3)  Operads and the principle of small graphs.
4)  The cosmic Galois group: results, counterexamples and conjectures.

In the 1990's Broadhurst and Kreimer observed that many Feynman amplitudes in quantum field theory are expressible in terms of multiple zeta values. Out of this has grown a body of research seeking to apply methods from algebraic geometry and number theory to problems in high energy physics. This talk will be an introduction to this nascent area and survey some recent highlights.
 
Most strikingly, ideas due to Grothendieck (developed by Y. André) suggest that there should be a Galois theory of certain transcendental numbers defined by the periods of algebraic varieties.  Many Feynman amplitudes in quantum field theories are of this type.  P. Cartier suggested several years ago applying these ideas to amplitudes in perturbative physics, and coined the term `cosmic Galois group'.  One of my goals will be to describe how to set up such a theory rigorously, define a cosmic Galois group, and explore its consequences and unexpected predictive power.
 
Topics to be addressed will include:
 
1)  A Galois theory of periods, multiple zeta values.
2)  Parametric representation of Feyman integrals and their mixed Hodge structures.
3)  Operads and the principle of small graphs.
4)  The cosmic Galois group: results, counterexamples and conjectures.

Le cours sera consacré à la dérivation de modèles non linéaires (de type Schrödinger) à partir de la théorie quantique linéaire, dans une limite de type « champ moyen » où l’interaction entre les particules est faible et le nombre de particules est grand. La plus grande partie du cours concernera les états invariants du système (minimiseurs et, surtout, mesures de Gibbs), mais je ferai également des commentaires sur le problème dépendant du temps. Nous utiliserons des outils très variés, allant du calcul variationnel à la physique statistique, en passant par l’analyse semi-classique, les inégalités fonctionnelles et les propriétés fines de l’entropie.

Le cours sera consacré à la dérivation de modèles non linéaires (de type Schrödinger) à partir de la théorie quantique linéaire, dans une limite de type « champ moyen » où l’interaction entre les particules est faible et le nombre de particules est grand. La plus grande partie du cours concernera les états invariants du système (minimiseurs et, surtout, mesures de Gibbs), mais je ferai également des commentaires sur le problème dépendant du temps. Nous utiliserons des outils très variés, allant du calcul variationnel à la physique statistique, en passant par l’analyse semi-classique, les inégalités fonctionnelles et les propriétés fines de l’entropie.

Le cours sera consacré à la dérivation de modèles non linéaires (de type Schrödinger) à partir de la théorie quantique linéaire, dans une limite de type « champ moyen » où l’interaction entre les particules est faible et le nombre de particules est grand. La plus grande partie du cours concernera les états invariants du système (minimiseurs et, surtout, mesures de Gibbs), mais je ferai également des commentaires sur le problème dépendant du temps. Nous utiliserons des outils très variés, allant du calcul variationnel à la physique statistique, en passant par l’analyse semi-classique, les inégalités fonctionnelles et les propriétés fines de l’entropie.

Le cours sera consacré à la dérivation de modèles non linéaires (de type Schrödinger) à partir de la théorie quantique linéaire, dans une limite de type « champ moyen » où l’interaction entre les particules est faible et le nombre de particules est grand. La plus grande partie du cours concernera les états invariants du système (minimiseurs et, surtout, mesures de Gibbs), mais je ferai également des commentaires sur le problème dépendant du temps. Nous utiliserons des outils très variés, allant du calcul variationnel à la physique statistique, en passant par l’analyse semi-classique, les inégalités fonctionnelles et les propriétés fines de l’entropie.

Il s'agit d'exposer un travail (http://arxiv.org/abs/1506.06113) cosigné avec Luca Barbieri-Viale et Olivia Caramello et essentiellement réalisé par cette dernière à partir d'une question initiale posée par le premier.
 

Le cours aura pour but d'expliquer une nouvelle construction, basée sur la logique catégorique, de la catégorie abélienne Q-linéaire de motifs mixtes que Nori a associée à tout foncteur cohomologique ou homologique à valeurs dans les Q-espaces vectoriels de dimension finie.
 

Cette nouvelle construction garde un sens pour les espaces vectoriels de dimension infinie, si bien qu'elle permet d'associer une catégorie Q-linéaire de motifs mixtes à tout foncteur (co)homologue à coefficients de caractéristique 0, donc non seulement à l'homologie de Betti (comme Nori lui-même avait fait) mais aussi, par exemple, aux cohomologies l-adiques, p-adique ou motivique.
 

Le caractère très constructif de la définition permet de montrer que les catégories abéliennes de motifs mixtes associées à différents foncteurs (co)homologiques sont équivalentes si et seulement si une famille bien précise (de nature logique) de propriétés explicites est vérifiée identiquement par ces foncteurs. Le double problème de l'existence d'une théorie cohomologique universelle et de l'équivalence entre les informations renfermées dans les différents foncteurs cohomologiques classiques est donc réduit à la vérification que ces propriétés explicites sont communes à ces foncteurs.
 

Le cours s'attachera en particulier à rendre familiers un langage et quelques résultats de logique catégorique qui ne sont généralement pas connus des géomètres algébristes.

Il s'agit d'exposer un travail (http://arxiv.org/abs/1506.06113) cosigné avec Luca Barbieri-Viale et Olivia Caramello et essentiellement réalisé par cette dernière à partir d'une question initiale posée par le premier.
 

Le cours aura pour but d'expliquer une nouvelle construction, basée sur la logique catégorique, de la catégorie abélienne Q-linéaire de motifs mixtes que Nori a associée à tout foncteur cohomologique ou homologique à valeurs dans les Q-espaces vectoriels de dimension finie.
 

Cette nouvelle construction garde un sens pour les espaces vectoriels de dimension infinie, si bien qu'elle permet d'associer une catégorie Q-linéaire de motifs mixtes à tout foncteur (co)homologue à coefficients de caractéristique 0, donc non seulement à l'homologie de Betti (comme Nori lui-même avait fait) mais aussi, par exemple, aux cohomologies l-adiques, p-adique ou motivique.
 

Le caractère très constructif de la définition permet de montrer que les catégories abéliennes de motifs mixtes associées à différents foncteurs (co)homologiques sont équivalentes si et seulement si une famille bien précise (de nature logique) de propriétés explicites est vérifiée identiquement par ces foncteurs. Le double problème de l'existence d'une théorie cohomologique universelle et de l'équivalence entre les informations renfermées dans les différents foncteurs cohomologiques classiques est donc réduit à la vérification que ces propriétés explicites sont communes à ces foncteurs.
 

Le cours s'attachera en particulier à rendre familiers un langage et quelques résultats de logique catégorique qui ne sont généralement pas connus des géomètres algébristes.

The goal of this course is to give a construction of contact homology in the sense of Eliashberg–Givental–Hofer. I will begin with an introduction to contact geometry, pseudo-holomorphic curves as introduced by Gromov, and some target applications of contact homology. The main focus will then be on extracting enough enumerative information (i.e. « virtual fundamental cycles ») out of the relevant moduli spaces of pseudo-holomorphic curves. I will present a general framework for doing this, and then discuss the specific application to contact homology.

The goal of this course is to give a construction of contact homology in the sense of Eliashberg–Givental–Hofer. I will begin with an introduction to contact geometry, pseudo-holomorphic curves as introduced by Gromov, and some target applications of contact homology. The main focus will then be on extracting enough enumerative information (i.e. « virtual fundamental cycles ») out of the relevant moduli spaces of pseudo-holomorphic curves. I will present a general framework for doing this, and then discuss the specific application to contact homology.