I will start with an aspect of mathematics that is well understood that is the Mendelian dynamics in the spaces of alleles. (This is described in Mendelian Dynamics and Sturtevant’s Paradigm in the « recent » section on my website.)
Also I touch upon in this context on the categorical view on the entropy in dynamics as in In a Search for a Structure, Part 1: On Entropy, also in the « recent » section).
(2-3 lectures)

Then I will elaborate on the Poincaré-Sturtevant idea of describing geometries of spaces X by samples of probability measures on the set subsets of X, where Poincaré had in mind the reconstruction of the Euclidean geometry by the Brain and Sturtevant used it to make a genomic map of a chromosome of drosophila.
(1 lecture)

Also I dedicate a lecture to mathematical problems related to the structure and functions of proteins.
I conclude by speculations on further possible mathematical « unfoldings » of messages conveyed by molecular ­

Il s'agit d'exposer un travail (http://arxiv.org/abs/1506.06113) cosigné avec Luca Barbieri-Viale et Olivia Caramello et essentiellement réalisé par cette dernière à partir d'une question initiale posée par le premier.
 

Le cours aura pour but d'expliquer une nouvelle construction, basée sur la logique catégorique, de la catégorie abélienne Q-linéaire de motifs mixtes que Nori a associée à tout foncteur cohomologique ou homologique à valeurs dans les Q-espaces vectoriels de dimension finie.
 

Cette nouvelle construction garde un sens pour les espaces vectoriels de dimension infinie, si bien qu'elle permet d'associer une catégorie Q-linéaire de motifs mixtes à tout foncteur (co)homologue à coefficients de caractéristique 0, donc non seulement à l'homologie de Betti (comme Nori lui-même avait fait) mais aussi, par exemple, aux cohomologies l-adiques, p-adique ou motivique.
 

Le caractère très constructif de la définition permet de montrer que les catégories abéliennes de motifs mixtes associées à différents foncteurs (co)homologiques sont équivalentes si et seulement si une famille bien précise (de nature logique) de propriétés explicites est vérifiée identiquement par ces foncteurs. Le double problème de l'existence d'une théorie cohomologique universelle et de l'équivalence entre les informations renfermées dans les différents foncteurs cohomologiques classiques est donc réduit à la vérification que ces propriétés explicites sont communes à ces foncteurs.
 

Le cours s'attachera en particulier à rendre familiers un langage et quelques résultats de logique catégorique qui ne sont généralement pas connus des géomètres algébristes.

A la fin des années 90, les liens entre transport optimal, entropie et courbure de Ricci étaient mis au jour (Jordan-Kinderlehrer-Otto, Otto-Villani); quelques années plus tard, ce liens étaient exploités pour démarrer l’étude systématique du « point de vue synthétique » de la courbure de Ricci (Lott-Sturm-Villani), un domaine en progression constante depuis lors. La résolution récente de plusieurs questions ouvertes majeures suggère que le moment est venu de faire un bilan; c’est l’objectif de ce cours. On y trouvera notamment une nouvelle preuve du théorème d’isopérimétrie de Lévy-Gromov (Cavalletti-Mondino).

A la fin des années 90, les liens entre transport optimal, entropie et courbure de Ricci étaient mis au jour (Jordan-Kinderlehrer-Otto, Otto-Villani); quelques années plus tard, ce liens étaient exploités pour démarrer l’étude systématique du « point de vue synthétique » de la courbure de Ricci (Lott-Sturm-Villani), un domaine en progression constante depuis lors. La résolution récente de plusieurs questions ouvertes majeures suggère que le moment est venu de faire un bilan; c’est l’objectif de ce cours. On y trouvera notamment une nouvelle preuve du théorème d’isopérimétrie de Lévy-Gromov (Cavalletti-Mondino).

A la fin des années 90, les liens entre transport optimal, entropie et courbure de Ricci étaient mis au jour (Jordan-Kinderlehrer-Otto, Otto-Villani); quelques années plus tard, ce liens étaient exploités pour démarrer l’étude systématique du « point de vue synthétique » de la courbure de Ricci (Lott-Sturm-Villani), un domaine en progression constante depuis lors. La résolution récente de plusieurs questions ouvertes majeures suggère que le moment est venu de faire un bilan; c’est l’objectif de ce cours. On y trouvera notamment une nouvelle preuve du théorème d’isopérimétrie de Lévy-Gromov (Cavalletti-Mondino).

Ce cours s'intéresse à la transition de phase du modèle d'Ising sur le réseau Zd et à son comportement critique. Nous montrerons qu'en dimensions quatre et plus, le modèle se comporte comme en champ moyen. Nous prouverons également l'invariance conforme du modèle en dimension deux. Enfin, nous complèterons cette étude par quelques résultats partiels et questions ouvertes sur le modèle d'Ising en dimension trois. L'étude combine des arguments géométriques avec une représentation, appelée représentation en courants aléatoires, introduite dans les années quatre-vingt par Michael Aizenman.

The goal of the first part of the course is to describe and compare various cohomology theories for algebraic varieties endowed with global function. In the second part infinite-dimensional applications will be discussed, including non-perturbative quantization of algebraic symplectic varieties.

The goal of the first part of the course is to describe and compare various cohomology theories for algebraic varieties endowed with global function. In the second part infinite-dimensional applications will be discussed, including non-perturbative quantization of algebraic symplectic varieties.

Pour tout groupe réductif G sur un corps de fonctions, on utilise la cohomologie des champs de G-chtoucas à pattes multiples pour démontrer la correspondance de Langlands pour G dans le sens "automorphe vers Galois''. On obtient en fait une décomposition canonique des formes automorphes cuspidales indexée par les paramètres de Langlands. On évoquera de plus à la fin de ce cours un travail avec Alain Genestier, ayant pour objet (dans le cas des corps de fonctions) la correspondance locale, la compatibilité avec la correspondance globale, et certaines structures des formules de multiplicités d'Arthur.

Pour tout groupe réductif G sur un corps de fonctions, on utilise la cohomologie des champs de G-chtoucas à pattes multiples pour démontrer la correspondance de Langlands pour G dans le sens "automorphe vers Galois''. On obtient en fait une décomposition canonique des formes automorphes cuspidales indexée par les paramètres de Langlands. On évoquera de plus à la fin de ce cours un travail avec Alain Genestier, ayant pour objet (dans le cas des corps de fonctions) la correspondance locale, la compatibilité avec la correspondance globale, et certaines structures des formules de multiplicités d'Arthur.

Pour tout groupe réductif G sur un corps de fonctions, on utilise la cohomologie des champs de G-chtoucas à pattes multiples pour démontrer la correspondance de Langlands pour G dans le sens "automorphe vers Galois''. On obtient en fait une décomposition canonique des formes automorphes cuspidales indexée par les paramètres de Langlands. On évoquera de plus à la fin de ce cours un travail avec Alain Genestier, ayant pour objet (dans le cas des corps de fonctions) la correspondance locale, la compatibilité avec la correspondance globale, et certaines structures des formules de multiplicités d'Arthur.

Ce sera une version amplifiée de mon exposé pour Laumon (dimension un), plus peut-être un rapport sur ce qu'a fait Drinfeld (dimension supérieure).