La théorie synthétique de la courbure de Ricci (1/5)

A la fin des années 90, les liens entre transport optimal, entropie et courbure de Ricci étaient mis au jour (Jordan-Kinderlehrer-Otto, Otto-Villani); quelques années plus tard, ce liens étaient exploités pour démarrer l’étude systématique du « point de vue synthétique » de la courbure de Ricci (Lott-Sturm-Villani), un domaine en progression constante depuis lors. La résolution récente de plusieurs questions ouvertes majeures suggère que le moment est venu de faire un bilan; c’est l’objectif de ce cours. On y trouvera notamment une nouvelle preuve du théorème d’isopérimétrie de Lévy-Gromov (Cavalletti-Mondino).

Mesures stationnaires et fermés invariants des espaces homogènes (6/6)

Dans ce cours, je présenterai des résultats que j’ai obtenus récemment en collaboration avec Yves Benoist.

Nous avons démontré que, pour certaines actions de groupes sur des espaces homogènes, les adhérences d’orbites sont toutes des sous-variétés.
Cet énoncé fait suite à de célèbres travaux de Furstenberg, Ratner, Margulis, Dani, Lindenstrauss, Katok, Einsiedler, etc. qui obtiennent des résultats proches, pour des actions de groupes différents.
L’idée nouvelle que nous avons introduite, consiste à montrer que, sous nos hypothèses, l’adhérence de l’orbite d’un point peut s’obtenir en tirant au hasard les éléments du groupe qu’on lui applique successivement.
Notre résultat découle alors des propriétés de la chaine de Markov ainsi construite, pour la description de laquelle nous utilisons la théorie des produits de matrices aléatoires, due à Furstenberg, Kesten, Kiffer, Guivarc’h, Raugi, Gol’dsheid, Margulis, etc.

Comportement asymptotique des solutions de l’équation des ondes critique (1/4)

Les principales questions abordées dans cette série de cours concernent l’existence locale et globale en temps, explosion en temps fini et la résolution en solitons des solutions de l’équation des ondes non linéaire énergie critique.
Les lectures ne demanderont pas de pré-requis..

Comportement asymptotique des solutions de l’équation des ondes critique (2/4)

Les principales questions abordées dans cette série de cours concernent l’existence locale et globale en temps, explosion en temps fini et la résolution en solitons des solutions de l’équation des ondes non linéaire énergie critique.
Les lectures ne demanderont pas de pré-requis..

Comportement asymptotique des solutions de l’équation des ondes critique (4/4)

Les principales questions abordées dans cette série de cours concernent l’existence locale et globale en temps, explosion en temps fini et la résolution en solitons des solutions de l’équation des ondes non linéaire énergie critique.
Les lectures ne demanderont pas de pré-requis..

Mathematical Structures arising from Genetics and Molecular Biology (2/4)

I will start with an aspect of mathematics that is well understood that is the Mendelian dynamics in the spaces of alleles. (This is described in Mendelian Dynamics and Sturtevant’s Paradigm in the « recent » section on my website.)
Also I touch upon in this context on the categorical view on the entropy in dynamics as in In a Search for a Structure, Part 1: On Entropy, also in the « recent » section).
(2-3 lectures)

Then I will elaborate on the Poincaré-Sturtevant idea of describing geometries of spaces X by samples of probability measures on the set subsets of X, where Poincaré had in mind the reconstruction of the Euclidean geometry by the Brain and Sturtevant used it to make a genomic map of a chromosome of drosophila.
(1 lecture)

Also I dedicate a lecture to mathematical problems related to the structure and functions of proteins.
I conclude by speculations on further possible mathematical « unfoldings » of messages conveyed by molecular

Systèmes locaux l-adiques sur une variété sur un corps fini (2/6)