« A. Joyal et moi-même avons donné des cours d’introduction les deux premiers jours, suivis de trois jours d’exposés : 11 exposés pléniers et 11 exposés courts donnés pour la plupart par des jeunes. Il y a eu plus d’une centaine de participants, en particulier les deux premiers jours qui ont permis à beaucoup de se familiariser avec le sujet. Les vidéos des cours et des exposés sont aussi très regardées sur internet. Le colloque a illustré la fécondité et l’impact de la notion de topos – introduite par A. Grothendieck à l’IHES dans les années 60 – dans différents secteurs des mathématiques, tels que la géométrie algébrique, l’algèbre, la théorie des nombres, la logique mathématique, l’analyse fonctionnelle, la topologie et la physique mathématique.

Le caractère unifiant de la notion de topos avait déjà été entrevu par Grothendieck, qui comparait le thème du topos à un « lit » ou une « rivière profonde » qui réalise un mariage entre « le monde du continu et celui des structures discontinues ou discrètes », et qui permet de « saisir avec finesse, par un même langage riche en résonances géométriques, une “ essence ” commune à des situations des plus éloignées les unes des autres. »

Après l’introduction des topos par Grothendieck comme pourvoyeurs d’invariants cohomologiques utiles pour la géométrie algébrique (en particulier dans l’optique des conjectures de Weil), de nouvelles perspectives sur la notion de topos ont émergé. D’après W. Lawvere et M. Tierney, les topos peuvent être considérés comme des sortes d’univers mathématiques dans lesquels les constructions familières sur les ensembles restent possibles mais qui sont doués chacun de propriétés spécifiques. D’autre part, la théorie des topos classifiants permet d’associer à toute théorie mathématique d’une forme très générale un topos qui incarne son « contenu sémantique ».

Plus récemment, les topos ont commencé à être utilisés comme des sortes de « ponts unifiants » permettant de relier entre elles des théories mathématiques différentes, d’engendrer et étudier des dualités ou des équivalences, de transférer des notions et résultats entre domaines mathématiques distincts et de démontrer des nouveaux résultats à l’intérieur d’une théorie donnée. »

Olivia Caramello

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A. Ogus est professeur à l’université de Californie à Berkeley, université au sein de laquelle il a également assumé la charge de directeur du département de mathématiques de 2012 à 2015. Il a été chercheur invité de l’IHES à de nombreuses reprises : la première en 1974, la plus importante en 1977-1978 et la plus récente de septembre à décembre 2015. Il a également été invité par diverses universités françaises, en particulier par l’université Paris XI (Orsay) en 1978-1979 puis en 1991.

Son domaine de recherche se situe à la confluence de l’arithmétique et de la géométrie algébrique. Se plaçant dans le sillage des techniques développées par A. Grothendieck et ses collaborateurs, ses idées ont donc naturellement trouvé en France et en particulier à l’IHES des lieux privilégiés où se faire connaître, apprécier et discuter.

Parmi les collaborations au long cours d’A. Ogus qui ont pu en résulter, on peut extraire celle entretenue avec P. Berthelot dès le début des années 70, jalonnée de travaux devenus des classiques: la monographie d’introduction à la cohomologie cristalline (1978) et l’article sur la comparaison entre cohomologie cristalline et cohomologie de De Rham (1983).

Plus récemment, intéressé par L. Illusie à la géométrie logarithmique, A. Ogus en est devenu l’un des meilleurs experts et son livre, très attendu, sur le sujet devrait lui aussi faire référence. Ce ne sont là que deux exemples parmi d’autres des liens forts que l’IHES a contribué à tisser au fil des ans entre A. Ogus et quelques-uns des meilleurs représentants de l’école mathématique française de géométrie arithmétique.

C’est toujours en manifestant une très grande générosité dans le partage de ses intuitions et une grande ouverture d’esprit qu’A. Ogus a passé ses séjours en France. L’IHES souhaitait donc en organisant cette conférence à l’occasion de la célébration de son 70ème anniversaire et de sa visite de quatre mois en son sein, être le premier à manifester sa reconnaissance pour tout le chemin parcouru grâce à lui. Cette conférence a réuni beaucoup des meilleurs experts des thématiques chères à A. Ogus. Elle a permis aux participants d’entrevoir les contours des futurs développements de sujets auxquels il a puissamment contribué et auxquels l’IHES compte bien continuer à apporter son soutien.

> Toutes les vidéos de la conférence sur la chaîne YouTube de l’IHES