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ERC Advanced Grant : AAMOT (Arithmetic of Automorphic Motives)

 

PI : Michael HARRIS

Je vais tenter d'expliquer quelques propriétés de ma conjecture concernant la géométrisation de la correspondance de Langlands locale. Je me concentrerai en particulier sur les propriétés de faisceau caractère, la compatibilité local/global et le fait que la conjecture implique la conjecture de Kottwitz décrivant la contribution des paquets supercuspidaux à la cohomologie des espaces de Rapoport-Zink. Je supposerai que l'auditeur est quelque peu familier avec la prépublication "Geometrization of the local Langlands correspondence: an overview".

Si on devait choisir un seul adjectif pour définir le domaine des exoplanètes, cet adjectif serait «révolutionnaire». Au cours des dernières années, presque 2000 planètes ont été trouvées autour de tous les types d’étoiles, y compris les étoiles pulsantes et binaires. Les estimations statistiques actuelles indiquent que, en moyenne, chaque étoile dans notre galaxie hébergerait au moins un compagnon planétaire, c’est à dire que notre Voie lactée est bondée de cent milliards de planètes.

L’aspect le plus révolutionnaire de ce jeune domaine est la découverte que le Système solaire ne semble pas être le paradigme dans notre Galaxie, mais plutôt l’une des nombreuses configurations possibles. Aujourd’hui l’accent doit donc passer de la découverte à la compréhension : c’est à dire comprendre la nature des planètes et leur histoire.

Le moyen d’observation clé pour comprendre les planètes est la composition chimique et l’état de leur atmosphère. Connaître de quoi les atmosphères sont faites est essentiel pour clarifier, par exemple, si une planète est née dans l’orbite actuelle où elle est observée ou si elle a suivi une migration longues ; il est également important de comprendre le rôle du rayonnement stellaire sur les processus d’échappement, l’évolution chimique et la circulation atmosphérique. À ce jour, deux méthodes peuvent être utilisées pour sonder les atmosphères exoplanétaires : la spectroscopie en transit et en éclipse, et la spectroscopie en imagerie directe. Ces sont des méthodes très complémentaires et nous devrions poursuivre les deux pour obtenir une connaissance cohérente des planètes en dehors de notre système solaire.
 

After a series of partial results, Ilya Kapovich proved in 2009 that if G  is a non-elementary geometrically finite Kleinian group acting on a finitely-dimensional unit ball by hyperbolic isometries, then either the Hausdorff dimension of the limit set L(G ) of G  is strictly larger than its topological dimension k , or else, L(G )  is a geometric k -sphere.

Using the methods, different than Kapovich's ones, stemming from the theory of conformal iterated function systems and geometric measure theory (recifiability), we shall formulate and discuss the proof of an extension of Kapovich result to the case, where geometric finiteness is replaced by the weaker requirement that the Hausdorff dimension of the limit points that are not radial, is smaller than the Hausdorff dimension of the set of radial points.

A counterpart of this theorem for rational functions of the Riemann sphere will be also discussed.

Finally, the case of Kleinian groups acting on the unit ball of infinitely dimensional separable Hilbert space will be considered.

Let K be a function field over an algebraically closed field of characteritic p geq 0, X a proper smooth K-scheme, and l a prime distinct from p. Deligne proved that the Q_l-coefficient étale cohomology groups of the geometric fiber of X–> K are always semisimple as G_K-modules. In this talk, we consider a similar problem for the F_l-coefficient étale cohomology groups. Among other things, we show that if p=0 (resp. in general), they are semisimple for all but finitely many l's (resp. for all l's in a set of density 1).

Séminaire de Relativité Générale Mathématique

 

The hidden symmetry of the Kerr spacetime, encoded in its pair of conformal Killing-Yano tensors, implies hidden symmetries for various test fields on such a background. Starting from certain natural operator identities we derive two such symmetries of the linearized Einstein operator. The first one is of differential order four and the relation to the classical theory of Debye potentials as well as to the Chandrasekhar transformation will be explained. The second one is of differential order six and related to the separability of an integrability condition to the linearized Einstein equations — the Teukolsky equation. Advanced symbolic computer algebra tools for xAct were developed for this purpose and if time permits, I will give an overview on the current status.

Second order operator $Delta$ on half-densities can be uniquely defined by its principal symbol $E$ up to a `potential' $U$. If $Delta$ is an odd operator such that order of operator $Delta^2$ is less than $3$ then principal symbol $E$ of this operator defines an odd Poisson bracket. We define the modular class of an odd Poisson supermanifold in terms of $Delta$ operator defining the odd Poisson structure. In the case of non-degenerate odd Poisson structure (odd symplectic case) the modular class vanishes, and we come to canonical odd Laplacian on half-densities, the main ingridient of Batalin-Vilkovisky
formalism. Then we consider examples of odd Poisson supermanifolds with non-trivial modular classes related with the Nijenhuis bracket.

The talk is based on the joint paper with M. Peddie: arXive: 1509.05686

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Abstract: In 1970, Manin observed that the Brauer group Br(X) of a variety X over a number field K can obstruct the Hasse principle on X. In other words, the lack of a K-rational point on X despite the existence of points everywhere locally is sometimes explained by non-trivial elements in Br(X). Since Manin's observation, the Brauer group and the related obstructions have been the subject of a great deal of research.

The 'algebraic' part of the Brauer group is the part which becomes trivial upon base change to an algebraic closure of K. It is generally easier to handle than the remaining 'transcendental' part and a substantial portion of the literature is devoted to its study. The transcendental part of the Brauer group is generally more mysterious, but it is known to have arithmetic importance – it can obstruct the Hasse principle and weak approximation.
I will describe recent progress in computing transcendental Brauer groups and obstructions, and give examples where there is no Brauer-Manin obstruction coming from the algebraic part of the Brauer group but a transcendental Brauer class explains why the rational points of a variety fail to be dense in the set of its adelic points.

Séminaire Laurent Schwartz — EDP et applications

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Abstract: La catégorie dérivée des faisceaux cohérents d'une variété projective lisse est souvent considérée comme un invariant algébrique très riche de cette variété. Les travaux de Bondal et Orlov montrent par exemple que deux variétés projectives dont les catégories dérivées sont équivalentes ont même anneau (anti)-canonique. La catégorie dérivée encode donc des informations birationnelles importantes. On pourrait se demander si elle contient des informations de nature topologique ou analytique. On souhaiterait par exemple savoir si deux variétés dont les catégories dérivées sont équivalentes ont même nombres de Hodge.

Dans cet exposé, je ferai un état de l'art rapide lié a cette question et je développerai quelques résultats que j'ai obtenus et qui suggèrent qu'une certaine sous-algèbre de l'algèbre de Hodge est invariante par équivalence dérivée. La définition de cette algèbre s'étend au cadre non-commutatif et sa construction permet d'obtenir une grande partie de la structure de Hodge conjecturale d'une variété Calabi-Yau de dimension 3 non-commutative.

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Abstract: I will start by reviewing the main features of Kuznetsov's Homological projective duality (HPD for short).  Then I will explain how, inspired by Calabrese and Thomas' construction of derived equivalent Calabi-Yau 3-folds, one gets the idea of considering a natural HPD problem for linear systems with base loci. Inparticular, this yields a process for constructing new HP duals from old. Finally, we will explicitly apply the procedure in the example of singular cubic 4-folds. This is joint work with Zak Turcinovic (arXiv:1511.09398).

Séminaire Laurent Schwartz — EDP et applications

Séminaire Laurent Schwartz — EDP et applications