affiche ondes non lineaires Événement

Trimestre ondes non linéaires à l’IHES

Ce programme, qui a réuni plus de 80 grands scientifiques dans le domaine sur trois mois ainsi que de nombreux étudiants pendant l’École d’été, a pu être organisé grâce au soutien de la Commission européenne au travers d’un ERC Advanced Grant (Principal Investigator: F. Merle) « Blow up, dispersion and solitons (Blowdisol) » hébergé par l’université de Cergy-Pontoise. Les contributions de la Société Générale et du Clay Mathematics Institute ont également été cruciales pour l’organisation de l’École d’été qui a conclu ce magnifique trimestre.

Deux des organisateurs du trimestre IHES avaient déjà organisé un semestre thématique à l’IHP au printemps 2009, intitulé « Ondes non linéaires et dispersion ». Ce précédent programme avait pour objectif de faire le point sur près de vingt ans de développements reliés aux équations non linéaires dispersives « modèles », de Korteweg-de-Vries à l’équation de Schrödinger non linéaire en passant par l’équation des ondes sous diverses formes. Cette activité, impulsée surtout aux États-Unis par des chercheurs venus de l’analyse harmonique (C. Kenig, G. Ponce, L.Vega, J. Bourgain) a naturellement rencontré les efforts pionniers menés en Europe par J.Ginibre, G. Velo, J.-C. Saut, puis H. Bahouri, J.-Y. Chemin, P. Gérard, F. Merle et bien d’autres à leur suite. Le programme de 2009 avait connu un fort succès, avec une participation très importante de très nombreux invités étrangers de haut niveau, certains pour la durée du programme, d’autres pour au moins un mois. En quelque sorte, ce programme avait clos un cycle de l’activité dans le champ des équations dispersives, centrée autour des problèmes de Cauchy pour les diverses équations modèles. Dans le même temps, il avait également permis d’exposer divers développements alors récents : l’analyse de modèles explosifs comme Schrödinger focalisant, ou encore les méthodes de concentration-compacité-rigidité (qui ont également essaimé au-delà des modèles dispersifs).

L’activité scientifique du domaine est aujourd’hui, d’une certaine façon, beaucoup plus diversifiée qu’il y a quatre ou cinq ans, et cela se reflète dans l’activité scientifique menée durant ce trimestre thématique à l’IHES : l’analyse des principaux modèles dispersifs jouets s’est déplacée vers des questions délicates reliées à l’asymptotique des solutions, que ce soit dans une description dynamique précise des régimes explosifs ou dans les progrès vers la conjecture de résolution des solitons, avec l’analyse des collisions entre plusieurs solitons, ou bien encore avec l’étude de la stabilité des solutions de type breather. L’émergence d’un corpus de techniques bien identifiées a également permis d’illustrer leur versatilité, avec leur développement fructueux sur des modèles au-delà du dispersif, notamment sur des équations géométriques dispersives encore inabordables il y a peu (par exemple, l’analyse de l’explosion pour les Schrödinger maps) et également, comme déjà mentionné, pour revisiter les équations paraboliques. De manière plus générale, des théorèmes de classification du comportement des solutions de divers modèles non linéaires ne sont plus inatteignables, et le trimestre a vu une activité importante de présentation (séminaires, cours de la fondation Hadamard et à l’École d’été par C.Kenig) des résultats récents de T.Duyckaerts, C.Kenig et F. Merle sur la résolution en solitons des solutions de l’équation des ondes non linéaires focalisante d’énergie critique.

Dans le même temps, une intense activité de développement autour des effets dispersifs se poursuit sur des modèles beaucoup plus délicats, souvent plus proches de la réalité physique. Même des modèles plus simples mais physiques comme l’équation de Dirac (non linéaire) présentent des difficultés non encore rencontrées avec les ondes ou Schrödinger. Le trimestre IHES a permis l’interaction de nombreux chercheurs d’horizons divers sur des modèles fluides comme les « water waves » et plus généralement dans les modèles de type ondes/dispersifs qui apparaissent dans de nombreuses dérivations « asymptotiques » de phénomènes fluides. Les effets dispersifs ont joué un rôle prépondérant dans les résultats d’existence et d’asymptotique les plus récents qui ont été présentés lors des séminaires, des deux conférences et de l’école d’été. Dans le cadre des « water waves », on s’intéresse maintenant surtout à l’asymptotique, et également à des modèles de plus en plus sophistiqués et proches de la réalité physique (tension de surface, profondeur finie, etc.)

De nouveaux développements se produisent, notamment sur le cas 2D, qui est le plus difficile : il y a un phénomène de décollement de phase dans l’étude du scattering qui n’avait jamais été étudié sur un problème quasilinéaire. Tous ces résultats sont prometteurs parce qu’ils introduisent de nouveaux outils, susceptibles d’applications diverses dans le champ des modèles dispersifs fluides et au-delà. L’étude des filaments de vortex connaît également d’intéressants développements en connexion avec les équations dispersives géométriques comme les « Schrödinger maps » ou mKdV, qui ont été présentés pendant le trimestre. Même dans le vide, la compréhension de la géométrie de l’espace-temps passe par l’analyse de délicates équations des ondes quasilinéaires ; de multiples avancées dans le cadre de la relativité générale, dont certaines ont été très directement influencées par les développements rapides de l’analyse des modèles dispersifs, ont été discutées et présentées lors des divers événements du trimestre.

Rappelons que le domaine a ainsi connu ces dernières années plusieurs avancées majeures, de la résolution de la « conjecture de courbure L2 » (S. Klainerman, I. Rodnianski et J. Szeftel) à la stabilité linéaire de la famille de métriques de Kerr (M. Dafermos, I. Rodnianski, D. Tataru, etc.), deux questions où la compréhension des phénomènes dispersifs joue un rôle essentiel. La formation des surfaces piégées (D.Christodoulou, S.Klainerman, I. Rodnianski) rentre également dans le cadre de l’analyse asymptotique, avec des outils très proches de l’analyse microlocale, et le trimestre a été l’occasion d’exposer les plus récents développements sur ces sujets très actifs.

Par ailleurs, les équations linéaires continuent de générer une activité importante, dans des cadres plus proches des modèles physiques réalistes : géométrie « compliquée » (métrique variable, éventuellement peu régulière, présence de conditions au bord, influence de la géométrie de l’environnement sur la propagation et la dispersion). Enfin, signalons une activité en croissance, dans un champ d’investigation à l’interface des EDPs dispersives et des probabilités, qui a connu un Carlos Kenig trimestre ondes non linéaires 5 Oana Ivanovici développement rapide, avec l’étude d’équations dispersives non linéaires où la donnée initiale est choisie presque sûrement dans un espace hors d’atteinte des théories déterministes.

Les objectifs du trimestre IHES étaient multiples : faire un point d’étape sur ce nouveau cycle ouvert il y a quelques années, porter une attention particulière aux jeunes qui travaillent dans ces domaines où la complexité croissante des activités rend le début de carrière de plus en plus difficile. D’autre part, il s’agissait également de rapprocher des chercheurs pour lesquels les points de convergence sont encore plus évidents aujourd’hui qu’ils ne l’étaient en 2009 : citons les importantes communautés françaises de l’étude mathématique de modèles fluides, de la théorie cinétique, des systèmes dynamiques et des équations aux dérivéees partielles en lien avec des modèles hamiltoniens en dimension infinie. Aux États-Unis, les activités centrées autour des modèles dispersifs, de la mécanique des fluides et des ondes non linéaires (notamment en lien avec la relativité générale et la physique mathématique) sont en pleine croissance (comme l’a illustré le succès d’un très gros programme thématique au MSRI à l’automne 2015). Toutes ces communautés ont aujourd’hui des recouvrements ponctuels reconnus, l’activité scientifique du trimestre IHES aura permis de fédérer ces activités, en permettant de nombreux échanges fructueux entre scientifiques d’horizon divers.

Le trimestre IHES a été un succès, illustré par un nombre important de professeurs invités restant plusieurs semaines et, pour certain.e.s, plusieurs mois (plus de 80 invité.e.s sur les trois mois), et par une très forte demande pour l’École d’été qui a clôturé le programme scientifique. S’il est trop tôt pour mesurer l’impact scientifique du trimestre lui-même – tout au plus peut-on remarquer que le continuum d’activités depuis l’automne au MSRI jusqu’au Bois-Marie en juillet semble avoir accéléré certains développements -, on peut néanmoins citer quelques tendances : l’objectif de classifier la dynamique de modèles d’équations aux dérivées partielles hamiltonienne n’apparaît plus inatteignable, une résolution complète de la conjecture des solitons sur des modèles non intégrables n’a jamais été aussi proche ; les techniques issues des modèles dispersifs sont maintenant prévalentes dans la plupart des travaux reliés aux équations de la physique mathématique, de la relativité générale et de la mécanique des fluides. Il est frappant de constater que des chercheurs de plus en plus nombreux travaillent de façon indifférenciée sur ces divers thèmes, et que chaque progrès thématique se propage très rapidement à l’ensemble des thèmes connexes.

 

> Retrouvez les vidéos de la conférence de mai et de la conférence de juin sur la chaîne YouTube de l’IHES.

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