Topos à l’IHES

« A. Joyal et moi-même avons donné des cours d’introduction les deux premiers jours, suivis de trois jours d’exposés : 11 exposés pléniers et 11 exposés courts donnés pour la plupart par des jeunes. Il y a eu plus d’une centaine de participants, en particulier les deux premiers jours qui ont permis à beaucoup de se familiariser avec le sujet. Les vidéos des cours et des exposés sont aussi très regardées sur internet. Le colloque a illustré la fécondité et l’impact de la notion de topos – introduite par A. Grothendieck à l’IHES dans les années 60 – dans différents secteurs des mathématiques, tels que la géométrie algébrique, l’algèbre, la théorie des nombres, la logique mathématique, l’analyse fonctionnelle, la topologie et la physique mathématique.

Le caractère unifiant de la notion de topos avait déjà été entrevu par Grothendieck, qui comparait le thème du topos à un « lit » ou une « rivière profonde » qui réalise un mariage entre « le monde du continu et celui des structures discontinues ou discrètes », et qui permet de « saisir avec finesse, par un même langage riche en résonances géométriques, une “ essence ” commune à des situations des plus éloignées les unes des autres. »

Après l’introduction des topos par Grothendieck comme pourvoyeurs d’invariants cohomologiques utiles pour la géométrie algébrique (en particulier dans l’optique des conjectures de Weil), de nouvelles perspectives sur la notion de topos ont émergé. D’après W. Lawvere et M. Tierney, les topos peuvent être considérés comme des sortes d’univers mathématiques dans lesquels les constructions familières sur les ensembles restent possibles mais qui sont doués chacun de propriétés spécifiques. D’autre part, la théorie des topos classifiants permet d’associer à toute théorie mathématique d’une forme très générale un topos qui incarne son « contenu sémantique ».

Plus récemment, les topos ont commencé à être utilisés comme des sortes de « ponts unifiants » permettant de relier entre elles des théories mathématiques différentes, d’engendrer et étudier des dualités ou des équivalences, de transférer des notions et résultats entre domaines mathématiques distincts et de démontrer des nouveaux résultats à l’intérieur d’une théorie donnée. »

Olivia Caramello

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