Mon voyage avec Christophe

L’image ci-dessus montre Christophe Soulé et Henri Gillet.

Il m’est très difficile de me souvenir exactement de la date à laquelle j’ai rencontré Christophe Soulé. Cette rencontre a eu lieu après mes travaux sur la version locale du théorème d’Atiyah-Singer pour les familles, par l’utilisation des superconnexions de Quillen. Avec Freed, nous avions construit une métrique et une connexion naturelles sur le fibré déterminant d’une famille d’opérateurs de Dirac, et nous avions donné une formule locale pour la courbure de cette connexion. Nous avions démontré une conjecture de Witten sur l’holonomie de la connexion conjecturale ≪ naturelle ≫ sur le déterminant d’une famille d’opérateurs de Dirac. Ces résultats étaient obtenus en mettant en place une version secondaire du théorème d’indice local des familles. Dans ces questions, les données étaient celles d’une métrique sur le tangent relatif d’une fibration, et d’un fibré horizontal. L’image mentale que j’avais construite sur ces questions était liée à la cohomologie équivariante de l’espace des lacets, à partir d’une observation de Witten et Atiyah. Je m’étais fabriqué un dictionnaire portatif qui permettait de répondre immédiatement à toute question de ce type.

Dans une situation holomorphe, la métrique détermine la connexion de Chern. il était donc à peu près clair que toute question mettant en jeu l’holomorphie ne pouvait pas être une conséquence immédiate de mes résultats avec Freed. Par ailleurs, Quillen avait introduit les métriques de Quillen sur le déterminant de la cohomologie d’une famille d’opérateurs $\partial$, où la famille est formée d’une surface de Riemann fixe. Il avait démontré un théorème de courbure pour la connexion de Chern associée à sa métrique.

Ma rencontre avec Christophe a presque immédiatement portée sur la version holomorphe de mon résultat avec Freed et sur le résultat de Quillen : y a t-il un lien direct entre deux théorèmes de courbure ? Dès que nous avons commencé à parler de ces questions, notre discussion a été parasitée par des ≪ résultats ≫ prétendant appliquer les résultats obtenus avec Freed à la situation holomorphe. Ces résultats étaient faux, ils se propageaient à grande vitesse, et se propagent encore. Christophe et moi étions absolument conscients de l’absurdité de tout cela. Nous avons donc décidé de n’accorder aucune importance à ces bruits parasites, et nous sommes mis au travail. Christophe m’a immédiatement informé que toute discussion avec lui devait être considérée comme impliquant son collaborateur Henri Gillet (que je ne connaissais pas !), avec lequel il formait une unité indissociable. J’acceptais très volontiers cette arithmétique très singulière, l’enjeu en valait absolument la peine. Notre collaboration prit rapidement une tournure frénétique : il s’agissait en particulier de vérifier que les constructions que j’avais effectuées dans un cadre $C^\infty$ étaient compatibles (dans un sens à déterminer) à l’holomorphie. Muni de mon dictionnaire portatif, il me fut assez facile de vérifier que c’était effectivement le cas. Mais tout restait à faire : le formalisme $C^\infty$ de mes travaux avec Freed devait être rendu holomorphe. Nous apprîmes à incorporer la machinerie de la K-théorie hermitienne de Gillet et Soulé, qui s’adaptait merveilleusement a ce que nous voulions faire, en particulier par l’introduction de la cohomologie de Bott-Chern. Ma collaboration avec Christophe a représenté pour moi l’une des parties les plus stimulantes, et les plus heureuses de ma vie mathématique.

Christophe était tout de même inquiet. Il avait ses raisons pour cela. Je crains bien de lui avoir causé également quelque souci. Ces inquiétudes se dissipèrent rapidement, car chaque étape effectuée soulevait de nouvelles questions, et nous n’avions guère le temps de nous disputer. L’intégration des superconnexions de Quillen dans le formalisme d’image directe à la Grothendieck de Gillet et Soulé fut aussi une étape extraordinaire de notre travail. Le formalisme gaussien de Quillen (qui était du pain béni pour moi !) s’adaptait merveilleusement à la résolution de questions d’analyse locale qui se posaient dans ce contexte. La déformation au cône normal était aussi un moyen parallèle d’exploration.

Tout ceci était épuisant, et nous nous effondrâmes, pas tout à fait en même temps, mais presque.

J’arrête ici le fil de mes souvenirs. Je crois tout de même qu’il valait peut être la peine de rappeler au lecteur que les mathématiques pouvaient représenter pour ceux qui la pratiquaient une sorte d’île enchantée, bien avant l’intolérable vulgarité introduite par l’intelligence artificielle.

Jean-Michel Bismut
Professeur émérite de Mathématiques à l’Institut de Mathématique d’Orsay de l’Université Paris-Saclay