Un entretien avec Christophe Soulé

Retrouvez ci-dessous un entretien avec Christophe Soulé, directeur de recherche CNRS émérite à l’IHES et membre de l’Académie des sciences, réalisé par Pierre Pansu, professeur émérite de mathématiques à l’Université Paris-Saclay, en mai 2025.

Pierre Pansu (P.P.) : Je vais commencer par le début : parle nous un peu de ton environnement familial.

Christophe Soulé (C.S.) : Mon père était polytechnicien et a travaillé comme physicien-mathématicien au CEA. Il a toujours été un modèle pour moi, et s’est intéressé à ma carrière et à mes travaux. Cela a sans doute joué dans le fait que je commence très tôt à obtenir des résultats mathématiques originaux.

P.P. Tu as commencé ta carrière en tant qu’attaché de recherche au CNRS, avant même d’avoir rédigé ta thèse.

C.S. Oui, à l’époque c’était possible. Dans ma promotion, nous étions six normaliens en quatrième année dans ce cas. Pour ma part, je n’avais même pas encore trouvé de sujet de thèse !

Avec l’aide de Serre, j’avais cependant déjà trouvé mon premier théorème. C’était lors de ma troisième année à l’École normale. Je m’étais posé des questions à la suite d’un cours de DEA de Godement. Il avait cette faculté à glisser dans ses cours des questions de recherche abordables pour de jeunes étudiants. J’avais fait un exposé sur les groupes fuchsiens et il m’avait demandé si, comme pour $SL_2(\mathbb{Z})$, il y avait aussi un arbre pour ces groupes. Après avoir lu Arbres, amalgames, $SL_2$, j’ai écrit à Serre en lui proposant une idée de construction d’arbre en dimension plus grande. Il m’a répondu par une lettre que j’ai gardée et qui commence par : « Votre énoncé est bien naturel… ». Cette lettre contenait également une idée de démonstration que j’ai pu développer.

P.P. S’agit-il là de ton travail sur la cohomologie de $SL_3(\mathbb{Z})$ ?

C.S. Oui, c’est ça !

P.P. Ton calcul de la cohomologie découlait-il de la description de $SL_3(\mathbb{Z})$ comme somme amalgamée ?

C.S. Non, cela suivait de la définition d’un bon espace pour $SL_3(\mathbb{Z})$, analogue à l’arbre de $SL_2(\mathbb{Z})$. Cet espace est de dimension 3 alors que la dimension de l’espace symétrique est plus grande : on peut le voir comme un squelette de l’espace symétrique, formé de simplexes de dimensions 3 qu’on recolle de manière non triviale. Cet espace est muni d’une action de groupe dont les stabilisateurs sont finis parce qu’ils sont tous contenus dans un groupe compact. C’est ce qui m’a permis de calculer toute la cohomologie de $SL_3(\mathbb{Z})$.

P.P. Et comment se passent les choses pour $SL_4(\mathbb{Z})$ ?

C.S. Deux ans après mes travaux, R. Lee et R. H. Szczarba ont obtenu de premiers résultats dans cette direction, qui restaient cependant incomplets.

A cette époque, Jean-Luc Brylinski m’avait demandé ce que valent les classes caractéristiques de $SL_n(\mathbb{Z})$. Je n’avais pas vraiment compris la question parce que je ne connaissais pas les classes caractéristiques. C’est cependant bien cette direction que j’ai décidé d’explorer par la suite.

Il y avait des classes caractéristiques qui étaient dans $SL_n(\mathbb{R})$ ou $SL_n(\mathbb{C})$ et qu’on pouvait restreindre à $SL_n(\mathbb{Z})$. Je me demandais alors ce qu’on obtenait comme classes de cohomologie.

Suite à une idée que m’avait donnée mon directeur de thèse d’État Max Karoubi, j’ai pu minorer l’ordre de certaines classes de Chern. En effet, ces classes vivent dans des groupes abéliens finis et sont de torsion (elles sont d’ordre fini parce que la cohomologie d’un groupe fini est de torsion). En restreignant ces classes de Chern à des sous-groupes diagonaux, on peut alors minorer l’ordre des classes caractéristiques.

Je me suis aperçu plus tard, en lisant un article de Grothendieck, qu’on connaissait déjà une majoration de l’ordre de ces classes de Chern. Dans son article, il montre que les classes caractéristiques en cohomologie étale sont plus fines que les classes caractéristiques usuelles. L’exemple qu’il donne est justement la majoration de l’ordre des classes de Chern que j’étudiais ! J’ai alors écrit à Loday en lui disant : « qu’on le veuille ou non, il va falloir apprendre la géométrie algébrique », et c’est ce j’ai fait.

P.P. Comment s’est fait cet apprentissage des mathématiques de Grothendieck ?

C.S. A l’époque, la source principale, c’était les EGA. Cela demandait un effort énorme et je ne me suis jamais lancé là-dedans. J’ai appris la théorie grâce à un texte d’introduction à la théorie des schémas par Jean Dieudonné et j’ai surtout eu la chance de pouvoir poser mes questions à Pierre Deligne. Je me rappelle notamment lui avoir posé la question suivante : « est-ce que, comme pour la K-théorie, la cohomologie étale est invariante quand on fait un produit avec la droite affine ? » En fait, j’ai appris sur le tas en m’appuyant sur des sources de première main comme Deligne ou Breen.

P.P. Tu viens d’évoquer Jean-Louis Loday et la K-théorie. Comment as-tu été amené à travailler sur ce sujet ?

C.S. J’ai rencontré Jean-Louis Loday à l’ICM de Vancouver en 1974. On est devenu amis et il m’a raconté la K-théorie et les formidables conjectures de Lichtenbaum qui prédisaient que l’ordre des groupes de K-théorie était donné par les nombres de Bernoulli.

Dans ma thèse, j’ai ainsi montré que $K_2(\mathbb{Z})$ contient un élément d’ordre 691, qui est le numérateur du 12^e nombre de Bernoulli.

De plus, la K-théorie de Z est liée à l’homologie de $GL_n(\mathbb{Z})$, et on retombe ainsi sur l’homologie de $SL_n(\mathbb{Z})$. La K-théorie de $\mathbb{Z}$ était donc un prolongement de mes travaux sur $SL_3(\mathbb{Z})$, $SL_4(\mathbb{Z})$… et la question de l’homologie stable pour $SL_n(\mathbb{Z})$ venait donc naturellement.

J’ai montré plus tard que les groupes de K-théorie étaient au moins aussi gros que prédit par la conjecture de Lichtenbaum (voir ci-dessous).

P.P. Beaucoup des résultats que tu mentionnes figurent dans ta thèse d’État pour laquelle tu as été récompensé par la médaille de bronze du CNRS.

C.S. Oui… Lichtenbaum était d’ailleurs l’un des rapporteurs de ma thèse et son rapport était plutôt positif. Je ne sais pas si cela a joué dans l’obtention de la médaille du CNRS. J’ai rencontré Lichtenbaum plus tard à Cornell (où j’ai été invité par Brown) et je garde un excellent souvenir de cette visite et de mes interactions avec lui.

P.P. Revenons à ton début de carrière. Comment as-tu été amené à faire ta thèse avec Karoubi ?

C.S. Godement m’avait donné mon premier sujet de recherche mais ce n’était pas des choses qui l’intéressaient vraiment. Il travaillait sur les formes automorphes et de fait j’ai longtemps suivi son séminaire avec Jean-Pierre Labesse.

Je me suis intéressé aux groupes discrets parce que c’étaient des objets classiques qui sont apparus très tôt dans les cours à l’École normale (produits libres, amalgames, théorème de van Kampen…). Comme dit, ça n’intéressait pas Godement, et même si Serre avait tendance à guider les jeunes étudiants, il prenait peu de thésards. J’ai donc dû trouver un autre directeur de thèse et Karoubi a accepté.

P.P. Pourrais-tu nous en dire un peu plus sur ta fascination pour les nombres de Bernoulli ?

C.S. Pour moi, tout a commencé avec le lien entre les nombres de Bernoulli et les sous-groupes finis de $SL_n(\mathbb{Z})$. Le cardinal de ces groupes est relié aux dénominateurs des nombres de Bernoulli. C’est une observation qui date de Minkowski et Burnside et qui est également incluse sous forme d’exercice dans Bourbaki [1].

En restreignant la cohomologie de $SL_n(\mathbb{Z})$ à ses sous-groupes finis, on peut, en utilisant le lien avec les nombres de Bernoulli, dire quelque chose sur les classes caractéristiques. En fait, c’est ainsi qu’on obtient le fait que les dénominateurs des nombres de Bernoulli minorent la torsion des classes de Chern, un résultat dont nous avons parlé auparavant.

Les nombres de Bernoulli sont aussi liés aux valeurs aux entiers impairs négatifs de la fonction Zeta de Riemann, et plus tard, en travaillant sur la théorie d’Arakelov, je suis tombé sur les valeurs aux entiers impairs négatifs de la dérivée de la fonction Zeta.

P.P. J’imagine que ce n’est pas une coïncidence…

C.S. Absolument pas, il y a en fait un lien assez profond. En effet, la série formelle de la classe de Todd dans le théorème de Riemann-Roch fait intervenir tous les nombres de Bernoulli. Le fait que ces nombres réapparaissent via la fonction Zeta dans la théorie d’Arakelov montre que cette théorie est plus fine que la théorie topologique usuelle : ce ne sont pas seulement les valeurs de la fonction Zeta qui apparaissent mais bien les valeurs de la dérivée de cette fonction.

P.P. Revenons-en à ton apprentissage de la cohomologie étale. Cette théorie t’a finalement servi dans tes travaux ?

C.S. La question que je me posais était de savoir si l’on pouvait obtenir plus que ce que Grothendieck avait obtenu pour $H^0$. En particulier, je cherchais une majoration pour les $H^k$, pour $k>0$. Quillen m’avait conseillé d’aller voir Illusie mais il n’a pas pu m’aider. Finalement, j’ai récupéré une lettre qu’il avait écrite sur la K-théorie à la fin des années 1970 et cette lettre m’a aidé à faire le lien entre la K-théorie et la cohomologie étale. J’ai pu ainsi définir une flèche de la K-théorie vers la cohomologie étale qui, sous certaines conditions, est surjective. J’ai donc obtenu une minoration optimale et une partie de la conjecture de Lichtenbaum (c’est ce résultat auquel je faisais référence plus haut).

Je n’avais aucune idée de comment montrer l’injectivité de cette flèche, et pour cause, la preuve complète n’est venue que bien plus tard avec les travaux de Voevodsky.

P.P. Ta thèse contient-elle d’autres résultats qui ont eu une postérité ?

C.S. En quelque sorte… J’ai remarqué bien plus tard que j’aurais pu déduire d’un résultat de ma thèse (paragraphe 2.2.7.3) un énoncé non trivial en lien à la conjecture de Vandiver. Le calcul de $K_4(\mathbb{Z})$ de Lee et Szczarba implique que la cohomologie étale correspondante est petite, et en fait, qu’elle est nulle. Le fait qu’elle soit nulle veut dire qu’une certaine torsion de Tate du groupe de classes du corps cyclotomique est nulle. Cela va dans le sens de la conjecture de Vandiver qui dit que la partie « + » du groupe de classes est nulle. J’utilisais la classe de Chern pour minorer la K-théorie par la cohomologie étale et là, il fallait renverser les choses et majorer la cohomologie étale par la K-théorie. Malheureusement, je n’ai pas eu l’idée de faire ce renversement. Quinze ans plus tard, Kurihara a finalement eu cette idée et a montré ce résultat.

P.P. Venons-en à ton travail avec Henri Gillet.

C.S. Gillet et moi faisions partie de la communauté qui travaillait sur la K-théorie. Il avait fait une thèse reliant la K-théorie à des théories cohomologiques vérifiant un certain nombre d’axiomes. Ce qui nous unissait, c’était notre intérêt pour les classes caractéristiques en K-théorie.  Ensuite je me suis posé une question et j’ai envoyé une lettre à Thomason et à Gillet leur demandant s’ils savaient faire. Cela devait être en 1980 ou 1981. Gillet m’a répondu et on a démarré une collaboration qui a duré jusqu’en 2000. On était très copains et très complémentaires :  il avait un point de vue très abstrait et moi, j’étais très intuitif, plutôt du genre à deviner les choses. On s’est vraiment très bien entendus. Aujourd’hui, il y a même des gens qui pensent que Gillet-Soulé c’est une seule et unique personne !

P.P. Votre collaboration a donc commencé avec une question très précise et vous avez fini par développer toute une théorie ensemble…

C.S. On avait presque répondu à ma question initiale quand Faltings a démontré la conjecture de Mordell et développé la théorie d’Arakelov dans son papier Calculus on arithmetic surfaces. Faltings travaillait en dimension 2 et Gillet et moi nous sommes demandés ce qu’il se passait en dimension supérieure. Il y avait aussi un article de Manin en 1984 dans lequel il suggérait qu’il fallait démontrer un théorème général de Riemann-Roch pour la théorie d’Arakelov. Nous voulions donc développer la théorie en dimension supérieure, avoir un énoncé de type Riemann-Roch et le démontrer. Cela nous a demandé une dizaine d’années de travail mais nous y sommes arrivés. La formulation propre et définitive de 1992 doit beaucoup à Bismut. C’est l’analogue arithmétique de la formule de Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch qui calcule la caractéristique d’Euler d’un fibré.

P.P. Comment avez-vous commencé à travailler avec Bismut ?

C.S. Je discutais beaucoup avec Quillen et il me disait  que je devais aller parler avec Bismut. C’est ce que j’ai fini par faire !

Il avait travaillé sur le théorème de l’indice avec des méthodes probabilistes. Quillen avait défini une métrique pour les surfaces de Riemann et avait suggéré, dans un court papier qu’il avait été poussé à écrire par Gelfand, que la torsion analytique permettait de définir une métrique sur le fibré déterminant et que c’est la courbure de cet objet qui devait donner le théorème de Riemann-Roch au niveau des formes. Bismut et Freed ont alors développé les techniques pour aborder cette question en toute généralité, c’est-à-dire en dimension supérieure. Cela fait partie d’un grand projet de Bismut, qu’il a lui aussi mené pendant de longues années. La difficulté technique était très élevée. Je viens de parler de la courbure du fibré déterminant, mais en fait, le théorème de Riemann-Roch arithmétique dans le cadre d’Arakelov calcule le fibré déterminant (avec sa métrique) lui-même, et pas uniquement sa courbure. Pour arriver à ce faire, il faut contrôler finement la torsion analytique. Gillet et moi avions développé une machinerie pour produire un énoncé de type Riemann-Roch mais cet énoncé supposait des résultats d’analyse. On s’est naturellement tourné vers Bismut pour ces questions.

Souvenirs de Christophe Soulé par Jean-Michel Bismut

P.P. Ce que tu décris, c’est ce qu’il se passe aux places réelles mais que se passe-t-il aux places des nombres premiers ?

Il y a deux façons de répondre à cette question. La première, c’est de prendre le théorème Riemann-Roch sur Z avec une complétion à l’infini : c’est ce qu’on a fait avec Henri. L’autre façon de faire, encore meilleure, c’est de compléter en toutes les places. C’est ce qu’on fait en arithmétique : on prend les adèles, i.e. le produit des p-adiques et des réels. Il doit donc y avoir sur $\mathbb{Q}_p$ une théorie semblable à celle à l’infini de la torsion analytique de Bismut. Cette théorie n’a pas encore été développée. La théorie adélique qui devrait suivre la théorie d’Arakelov est encore dans les limbes. Ce dont on dispose pour le moment, c’est une théorie de l’intersection adélique, due à Zhang et Yuan. Même pour la théorie des classes de Chern, il reste encore beaucoup à faire. On la connait pour le $c_1$ des fibrés inversibles mais pas pour les classes de Chern dans le cadre p-adique. Cependant, on a une vague indication. Quand on prend un graphe on a le déterminant du laplacien sur le graphe et on pourrait donc se demander si la théorie p-adique n’en est pas une généralisation mais on est loin d’avoir compris. Il y a des difficultés sérieuses : aujourd’hui Chambert-Loir et Ducros travaillent beaucoup sur ces questions mais ça ne passe pas encore.

P.P. Peux-tu nous dire pourquoi certains disent théorie et d’autres géométrie d’Arakelov ?

Szpiro disait théorie d’Arakelov parce qu’il s’intéressait à des surfaces aux conséquences arithmétiques fortes. Gillet et moi parlions de géométrie parce que le fait de généraliser la théorie à la dimension supérieure, c’était purement formel. Nous ne pensions pas appliquer la théorie. C’est en ça que nous avions pris la tangente avec Gillet : nous avons développé la théorie pour elle-même, comme une sorte de géométrie.

P.P. En retour, est-ce que votre géométrie a donné des applications arithmétiques ?

Pour l’instant non, mais je l’espère bien-sûr ! Je pense en particulier aux conjectures de Vojta et de Lang sur les surfaces arithmétiques, valables en toute dimension, et qui sont liées à la conjecture ABC.

P.P. Comment es-tu arrivé à présenter les travaux de Voevodsky à l’ICM de Seoul ?

C.S. Même s’ils impliquent les conjectures de Lichtenbaum sur lesquelles j’ai beaucoup travaillé, les travaux de Voevodsky ne sont pas directement liés aux miens. En fait, j’ai présenté les résultats de Voevodsky à l’ICM de 2002 parce que Suslin avait refusé. C’était évidemment un grand honneur pour moi et j’ai raconté ce que je comprenais de ses travaux sans aller voir la démonstration en détail. J’ai appris les théorèmes de Voevodsky dans le séminaire de K-théorie de Karoubi et Loday.

P.P. Parlons d’un autre médaillé Fields que tu as encadré, Laurent Lafforgue.

C.S. Lafforgue a fait son DEA sous ma direction lorsqu’il était en troisième année à l’ENS. Je lui avais demandé comment utiliser la théorie d’Arakelov pour démontrer le lemme de Dyson. Il avait écrit à Bombieri et ce dernier lui avait répondu qu’il ne voyait pas l’intérêt d’utiliser toute une machinerie pour démontrer un théorème qu’on comprenait déjà. Pour ma part, je me demandais si la théorie d’Arakelov permettait d’améliorer les bornes du lemme de Dyson et je voyais essentiellement ce projet comme un échauffement en vue d’une thèse. Après le message de Bombieri, Lafforgue n’a plus avancé. Je l’ai un peu grondé et en trois semaines, il avait réglé le problème. Il a alors eu le choix, étant le premier de sa promo, d’entrer au CNRS ou de faire l’ENA. J’ai téléphoné au directeur du département de l’ENS en lui disant qu’il ne devait absolument pas l’orienter vers le CNRS. Lafforgue n’était pas sûr de son choix. Je lui ai dit : « si vous voulez vous cassez la tête contre les murs aussi fort que vous voulez, choisissez la recherche ! ». Une semaine après, il avait choisi le CNRS. Je l’avais pris par les sentiments ! Il m’avait dit que mon idée avec le lemme de Dyson ne menait pas à grand-chose et je l’ai donc laissé choisir son sujet de recherche lui-même, utilisant la méthode qui m’avait été administrée à moi à l’époque. Comme il avait la sécurité de l’emploi, cela me paraissait justifié. Il a cherché des sujets, deux ou trois à la suite et à chaque fois il avait une bonne idée mais  ça ne passait pas. Il a finalement commencé à travailler avec Laumon qui lui a donné un magnifique problème qui l’a mené à sa médaille Fields.

P.P. Comment es-tu arrivé à l’IHES ?

Mon premier souvenir est d’avoir fait un exposé sur ma thèse avec Deligne dans l’auditoire. Je me rappelle aussi des cours du mardi après-midi de Deligne. Il prenait un sujet différent chaque année. Ça a commencé avec un cours sur sa preuve des conjectures de Weil. Il y avait également un séminaire à Orsay le même jour. Plus tard, je me suis plaint auprès de Kuiper qu’à la fac, on ne savait jamais qui était à l’IHES. Il m’a alors invité à venir travailler à l’Institut. Il avait pour projet d’attirer des gens de l’Université à l’Institut. Il voulait aussi faire venir Laumon par exemple. A l’époque, l’IHES cherchait à élargir son public. Je suis donc arrivé à l’IHES comme visiteur en 1982 et je me suis accroché. J’ai demandé à Serre d’appuyer ma candidature et il m’a conseillé de postuler chaque année. L’IHES n’abritait pas encore de laboratoire CNRS et je ne pouvais donc pas être affecté de manière permanente. Un jour j’ai été convoqué par Verdier, directeur du département de mathématiques de Paris 7, qui m’a demandé de choisir et j’ai choisi l’IHES. Je suis resté visiteur de l’IHES jusqu’en 2007 et je suis depuis permanent à l’Institut. J’ai énormément profité de l’environnement exceptionnel de l’IHES, qui m’a permis de discuter avec des personnes comme Quillen, Friedlander ou Mazur.

P.P. Nous voudrions maintenant évoquer avec toi les liens que tu as eu avec les différents scientifiques qui sont passés par l’IHES. Commençons par Dennis Sullivan. Comment as-tu été amené à échanger avec lui ?

C.S. Dans une note aux Comptes Rendus de l’Académie des sciences, Sullivan avait démontré que la classe d’Euler de $SL_n(\mathbb{Z})$ est annulée par le dénominateur du n-ième nombre de Bernoulli. C’est un résultat qui m’intéressait fortement vu les liens avec mes propres travaux de l’époque et je suis donc allé le voir pour lui demander s’il voulait bien être mon directeur de thèse. On a discuté et à la fin il m’a dit : « Vous et moi, nous n’avons pas la même conception des mathématiques ». J’étais flatté qu’il m’accorde une « conception des mathématiques » mais cela signifiait aussi la fin de nos échanges. Je pense que ce qu’il voulait dire, c’est que nous n’avions pas le même intérêt pour le problème sur lequel nous travaillions. Ce qui m’intéressait moi, c’était l’aspect arithmétique de l’énoncé alors que lui, ce qui l’intéressait, c’était que la classe d’Euler était de torsion, dans le cadre de sa réflexion plus générale sur les classes d’Euler de groupes discrets.

P.P. Pourrais-tu également nous parler de ton rapport à l’ordinateur ?

C.S. J’ai été initié à l’ordinateur par Jean-François Mestre, qui était un ancien ami de l’École normale puis un collègue à Paris 7. J’avais un calcul compliqué à faire avec un polynôme dépendant de n et il m’a aidé à faire ce calcul par ordinateur. C’était le début de mes travaux sur le calcul du genre de Todd arithmétique. J’ai dit à Mestre que je n’étais pas sûr des signes des coefficients du polynôme et il m’a dit qu’avec l’ordinateur, on pouvait « essayer » les différents signes possibles. Alors on s’y est mis et on a essayé les différents signes. A chaque fois, le résultat que nous donnait l’ordinateur était horriblement compliqué et il n’y avait rien à en tirer. Alors je lui ai dit, tant pis, on fait un dernier essai puis on va boire un pot. Il a donc programmé le dernier choix et, miracle, on trouve un résultat magnifique et on voit tout de suite qu’il y a un théorème à en tirer avant même d’avoir compris ce dont il s’agissait. C’était extraordinaire ! J’ai depuis continué à m’aider de l’ordinateur pour conjecturer des résultats. A l’époque, j’utilisais Maple et Maxima. Cela devait être en 1987 ou 1988.

Dans la même année, j’ai affiné mes réflexions et j’ai conjecturé avec l’aide de Maxima que deux nombres, que je définissais pour tout entier n, étaient égaux. A cette époque, j’étais à Bonn pour une Arbeitstagung et j’ai demandé à Don Zagier de se pencher sur la question. J’avais explicité sur deux pages mes définitions de ces nombres et j’ai laissé ma note sur le bureau de Zagier à Bonn. Cinq jours plus tard, il m’a retourné six pages manuscrites expliquant pourquoi l’un était égal à l’autre en utilisant les nombres de Stirling.

Le calcul de Zagier (qui a été publié en tant qu’appendice dans Analytic torsion and the arithmetic Todd genus) a fait sortir la fameuse série impliquant la dérivée de la fonction Zeta et nous a permis, à Gillet et moi, de démontrer la conjecture de Riemann-Roch arithmétique qui fait apparaître un genre de Todd nouveau explicite.

En général, je pense que l’ordinateur est très utile en mathématiques. Il permet notamment de venir à bout de calculs difficiles ou de défricher les domaines où l’on a des idées mais où l’on n’est pas sûr de son intuition. Il est en particulier très utile pour trouver des contre-exemples. Dans mon travail, je l’ai beaucoup utilisé pour tester des idées. Si l’ordinateur ne donnait rien, je passais à autre chose. Pour cela, je n’avais pas besoin de puissance de calcul extraordinaire, je travaillais principalement sur Maple avec un ordinateur de bureau.

Plus tard, avec Herbert Gangl et Philippe Elbaz-Vincent, nous avons utilisé l’ordinateur pour calculer la cohomologie de $SL_n (\mathbb{Z})$ pour $3 < n < 8$. Pour ce travail, nous avons utilisé les machines les plus puissantes de l’époque.

P.P. Peux-tu également nous parler du rapport de Voevodsky à l’ordinateur, de son travail sur les fondements des vérificateurs de preuves ?

C.S. Comme tout le monde sait, Voevodsky a été profondément marqué par un trou dans une de ses preuves. Il a alors voulu développer des outils pour éviter ce genre de mésaventure, qui dans son cas, a heureusement pu être réparé.

Son approche aux vérificateurs de preuves était très abstraite et à ma connaissance, elle n’a pas été poursuivie. Cependant, j’ai vu que le Collège de France avait organisé en 2025 un colloque à ce sujet.

P.P. Peux -tu nous parler de tes échanges avec Ofer Gabber ?

C.S. Gabber est vraiment quelqu’un d’extraordinaire. On peut lui poser n’importe quelle question et il répondra. La seule exigence, c’est que la question soit précise. Il ne répond pas à des questions où l’on laisse dans le flou certains mots. En fait, le simple fait de lui poser une question est très utile, parce qu’on est obligé pour soi-même de formuler précisément la question. Une fois que ce travail est fait, on n’est jamais déçu de la réponse ! Il y a deux jours encore, je lui posais une question, et j’attends avec impatience sa réponse. Je ne sais pas quand ça a commencé, mais je lui pose beaucoup de questions. Gabber est quelqu’un de très généreux et de très précieux pour la communauté mathématique.

P.P. Peux-tu nous parler de tes travaux sur les motifs et de la conjecture de Beilinson-Soulé ?

C.S. De mon point de vue, il s’agit de la suite de mon travail de thèse, dans lequel apparaissaient les classes de Chern étales. Ce qui m’intéressait, c’était de calculer la K-théorie de $\mathbb{Z}$, et pour un groupe donné de la K-théorie de $\mathbb{Z}$, contrairement aux classes de Chern topologiques, il n’y a pas qu’une seule mais plusieurs classes de Chern étales. En fait, chacune de ces classes de Chern détecte un bout de groupe de K-théorie. Ce que j’avais conjecturé, c’est qu’il n’y avait pas plus de bouts dans la K-théorie de $\mathbb{Z}$ que ce que détectaient les classes de Chern étales.

Durant un voyage à Moscou, j’ai fait la connaissance d’Alexander Beilinson qui m’a dit alors qu’il avait donné un nom à ces bouts de K-théorie qu’il appelait la « cohomologie motivique ». C’était la première fois qu’on employait un adjectif au lieu du substantif « motif », un concept profond qui terrifiait le monde parce qu’il faudrait démontrer les conjectures standards pour avoir les motifs au sens de Grothendieck.

Du point de vue de Beilinson, il ne pouvait pas y avoir de cohomologie motivique d’exposant négatif et ça correspondait exactement aux nombres de groupes qu’il y avait dans la K-théorie de $\mathbb{Z}$ de mon point de vue. C’est cette correspondance qu’on appelle la conjecture de Beilinson-Soulé, pour laquelle je ne suis donc pas arrivé par les motifs mais par la K-théorie.

Cela devait être en 1982 ou 1983. J’avais voyagé à Moscou avec un petit groupe de mathématiciens dont Hélène Esnault, Eckart Viehweg, Jean-Luc Brylinski et Christian Kassel. Nous étions partis de Berlin Ouest pour aller à Berlin Est où nous avions pris un avion pour Moscou.

Nous étions invités par les collègues de Moscou qui nous invitaient à parler dans leur séminaire. Ce voyage a été pour moi l’occasion de rencontrer Yuri Manin, Alexander Beilinson et Vadim Schechtman que je connaissais de par leurs travaux.

La conjecture de Beilinson-Soulé reste à ce jour ouverte et un grand mystère pour moi.

P.P. Tu as également travaillé sur le corps à un élément. Pourrais-tu nous en dire plus à ce sujet ?

C.S. Le corps à un élément est une idée de Jacques Tits qu’il a exposé dans un article de 1957 sur les groupes de Chevalley. Dans cet article, il dit que tout se passe comme s’il y avait un corps à un élément sous-jacent à ces groupes. Par exemple, si l’on prend $GL_n(k)$ et que k est le corps à un élément, alors $GL_n(k) = \mathfrak{S}_n$.

On savait depuis Springer que les caractères de $GL_n(k)$, où $k$ est un corps à p éléments, redonnent les caractères du groupe symétrique lorsque l’on fait $p=1$. C’est cela qui motiva Tits de définir le corps à un élément.

Il n’y a pas vraiment eu de suite à l’article de Tits jusqu’à ce que le mathématicien russe Alexander Smirnov ressuscitât l’idée en voyant un lien avec la fonction Zeta et l’hypothèse de Riemann. Si on avait un corps à un élément et que Spec($\mathbb{Z}$) était une courbe sur ce corps, on pourrait essayer de reprendre la preuve de Weil de la conjecture de Riemann pour les courbes sur un corps fini et cela donnerait l’hypothèse de Riemann.

En 1993, Manin a écrit un article programmatique dans lequel il demande de développer une géométrie algébrique sur le corps à un élément. J’avais ça en tête quand je me suis mis à essayer de donner une définition des variétés sur le corps à un élément. J’ai trouvé une définition assez compliquée et j’ai fait un article là-dessus dans lequel je disais clairement qu’il s’agissait d’une ébauche, et qu’il y avait sans doute d’autres définitions possibles. Dans les années qui suivirent, d’autres mathématiciens ont proposé des définitions alternatives mais il n’y a malheureusement pas eu de comparaisons entre ces définitions qui paraissent finalement assez différentes.

Alain Connes et Caterina Consani se sont beaucoup investis dans cette question. Ils ont trouvé une définition très belle et pour Connes, cela faisait effectivement partie de sa réflexion sur l’hypothèse de Riemann. En ce moment, le travail sur le corps à un élément est à nouveau à un point mort et je dois avouer que cela ne fait plus partie de mes préoccupations.

P.P. Quels ont été la nature de tes échanges avec Alain Connes ?

C.S. Nous n’avons jamais vraiment travaillé ensemble mais nous discutons beaucoup. La seule fois que j’ai repris ses idées, c’est justement en lien avec l’hypothèse de Riemann. Connes la décrivait à partir d’un opérateur et j’ai essayé de généraliser son idée en la faisant marcher pour les fonctions Zeta de Godement-Jacquet.

P.P. C’est aussi à travers Alain Connes tu as commencé à travailler avec Jean-Benoît Bost ?

C.S. Oui, Bost a été un élève d’Alain Connes. Il a d’abord commencé dans les C*-algèbres et ensuite, il s’est intéressé à la théorie d’Arakelov. Quand il est venu à l’IHES, il a fait un travail extraordinaire avec le physicien Thomas Jolicoeur qui consiste à remarquer qu’un énoncé en théorie des cordes se comprend par la théorie d’Arakelov. C’était environ en 1986, en même temps que Manin et un co-auteur faisaient la même découverte. On a donc fait un séminaire sur cette question qui commençait avec un physicien qui écrivait une formule compliquée au tableau et pour laquelle je faisais un deuxième exposé où je partais de cette formule de physique et la transformais petit à petit en une formule de mathématique, qui était la formule de Riemann-Roch en théorie d’Arakelov. Le séminaire a continué et à la fin, il y avait un exposé de Laurent Moret-Bailly sur ses travaux récents. C’était vraiment enthousiasmant ! La connexion mathématiques – physique théorique était très dans l’air du temps, avec comme point culminant l’ICM de Kyoto où on faisait la blague qu’il y a eu à ce congrès trois « Quantum Fields Medals », Drinfeld, Jones et Witten.

Avec Bost et Gillet, nous avons aussi travaillé plus tard sur les hauteurs sur les variétés arithmétiques, suite à un papier de Gerd Faltings. On a fini par faire un article très systématique, caractéristique du style mathématique de Jean-Benoît, qui aime aborder tous les aspects d’une notion. C’est d’ailleurs ce qu’il a fait encore très récemment avec François Charles, en développant une théorie des nombres en dimension infinie. Dans leur travail, ils regardent tous les invariants possibles sur un réseau et étendent ces invariants à un réseau de rang infini. Un papier avec des applications arithmétiques, que j’imagine à nouveau très complet doit paraître bientôt. Jean-Benoît est vraiment quelqu’un de très sérieux dont j’apprécie énormément le travail.

P.P. Nous avons appris récemment que Nicușor Dan, ton étudiant en thèse, a été élu président de Roumanie. Pourrais-tu nous en dire plus sur son parcours ?

C.S. Dan est venu en France suite à de brillantes études secondaires à Bucarest, pendant lesquelles il a notamment obtenu deux fois de suite le score maximal aux olympiades de mathématiques. Il est venu à travers le programme d’échange qu’avait l’École normale avec la Roumanie et a été admis comme élève normalien étranger. Il a fait un DEA à Orsay en géométrie algébrique et pour sa thèse, il a choisi la théorie d’Arakelov et est venu me voir. C’était à l’époque où Damian Rössler était également mon étudiant. Dan a fait une thèse brillante qui a d’ailleurs été publiée dans les Mathematische Annalen en 2002 dans un article intitulé « Prolongement méromorphe des courants de Green ». Il aurait pu tout à fait choisir une carrière universitaire mais a préféré s’engager dans la vie publique et politique.

Daniel Barsky était co-directeur de sa thèse parce que l’IHES ne pouvait pas décerner de thèse à l’époque et il fallait donc que je sois en binôme avec un professeur des universités.

Après sa thèse, Dan est revenu en Roumanie où il a continué à faire des mathématiques jusqu’en 2011. Parallèlement, il a créé une École normale supérieure à Bucarest sur le modèle de celle de Paris. Puis, il s’est consacré à une association qu’il a créé visant à combattre l’urbanisation sauvage à Bucarest. Cela l’a finalement amené à devenir maire de Bucarest en 2010. Le reste appartient à l’histoire.

Je suis allé le voir à Bucarest au moment où il a créé l’ENS de Bucarest au début des années 2000. Je cherche aujourd’hui à avoir ses coordonnées pour le féliciter car il semble avoir changé d’adresse mail.

P.P. Pourrais-tu me parler de tes travaux en biologie mathématique ?

C.S. En fait, mon intérêt pour la biologie provient de mon père qui m’avait dit à l’époque qu’il y avait un domaine qui allait se développer et que c’était les mathématiques et la biologie. C’était en 1967. Il disait qu’allait arriver le jour où les biologistes auront tellement de résultats qu’ils auront besoin de mathématiques pour faire le tri. Cette prédiction s’est avérée tout à fait juste.

Quand j’étais étudiant à l’ENS, j’envisageais de faire des mathématiques en lien avec la biologie. J’en ai parlé au directeur d’études qui m’a dit qu’il n’y avait rien d’intéressant dans ce domaine et que de toute façon, il fallait faire une thèse en médecine pour s’engager dans cette direction, pour être respecté dans le milieu. Cela m’a fait peur et j’ai fini par faire des mathématiques fondamentales en me disant que je verrai plus tard si cette direction était encore possible. J’ai aussi essayé de lire les travaux de Thom sur la stabilité structurelle et la morphogénèse mais je ne suis pas arrivé bien loin. À l’époque, c’était une des seules directions actives alliant mathématiques et biologie.

À mes 30 ans, j’ai commencé à apprendre un peu de biologie en écoutant François Jacob au Collège de France. J’apprenais la biologie pour le plaisir jusqu’au jour où Misha Gromov a organisé un séminaire de maths-bio à l’IHES. C’était alors naturel pour moi de participer. A travers ce séminaire, je suis entré en contact avec des gens d’Évry et j’ai trouvé un problème sur les circuits positifs dans les réseaux de gènes qui était franchement mathématique. La conjecture disait qu’il devait exister des circuits positifs dans les réseaux de gènes si ces réseaux conduisaient à plusieurs états stationnaires. Cela se traduit de manière précise en un énoncé mathématique que j’ai démontré au début des années 2000. Après j’ai continué à discuter avec Nadya Morozova, mais quand elle est partie à l’Institut Curie, cela s’est un peu arrêté.

Gromov lui, s’intéresse toujours à la biologie mathématique et fait des cours à ce sujet à l’IHES.

Je me souviens avec grand plaisir de ces travaux et je pense qu’il y a encore beaucoup à faire dans cette direction, notamment pour les jeunes générations !

Référence

[1] N. Bourbaki, Groupes et Algèbres de Lie, Chapitre 3, exercices 6, 7 et 8, pp. 273-274