Des mathématiciens associés à l’IHES reçoivent le prix Bôcher 2023

Les quatre mathématiciens Frank Merle, titulaire de la Chaire d’analyse CY Cergy Paris Université-IHES, Pierre Raphaël, titulaire de la Chaire Schlumberger pour les sciences mathématiques à l’IHES et professeur à l’université de Cambridge, Igor Rodnianski, professeur à l’université de Princeton, et Jérémie Szeftel, directeur de recherche CNRS à Sorbonne Université et visiteur régulier à l’IHES, ont reçu le Prix Bôcher 2023 de l’American Mathematical Society.

Le prix a été annoncé le 5 décembre, et il reconnaît les contributions remarquables que les lauréats ont publiées dans [1,2,3] établissant l’existence de solutions singulières de l’équation de Schrödinger non linéaire dans le cas défocalisant pour certains régimes supercritiques, et des équations d’Euler et de Navier-Stokes compressibles.

La collaboration qui a conduit à ces résultats a impliqué de longues discussions, aussi bien à distance que devant un tableau, dont beaucoup ont eu lieu à l’IHES. Les quatre chercheurs, qui se connaissent et collaborent sur différents projets depuis de nombreuses années, ont commencé à travailler sur ces problèmes en 2012.

« Les régimes supercritiques étaient un terrain inexploré, nous devions donc développer un cadre théorique complètement nouveau », explique Frank Merle, un mathématicien spécialisé dans les équations aux dérivées partielles, associé à l’IHES depuis 2006 et à temps partiel à CY Cergy Paris Université. « Il n’y avait pas de résultats mathématiques rigoureux, et pendant longtemps, nous avons eu l’impression de marcher dans le noir. Cela a impliqué de nombreux essais et des erreurs aussi, notamment parce que l’intuition basée sur les régimes sous-critiques et critiques s’est révélée ne pas être le meilleur guide pour comprendre des systèmes aussi complexes que l’équation de Schrödinger surcritique dans le cas défocalisant et l’équation de Navier-Stokes compressible. »

Il a fallu environ cinq ans pour trouver la clé qui a permis à l’équipe de résoudre le problème. Il s’agissait là de la première partie de leur travail, sans doute la plus importante : « L’essentiel, Szeftel explique, est de trouver la bonne idée pour se servir d’un point faible du problème, et cela suit un processus que l’on ne peut pas toujours contrôler et qui nécessite une compréhension profonde du problème ».

Après de nombreuses discussions, beaucoup de réflexion, et quelques faux pas, les quatre mathématiciens ont découvert en 2017 qu’une classe spécifique de solutions de l’équation d’Euler compressible pouvait être transposée dans l’équation de Navier-Stokes compressible. Il s’agit là de la clé qui a ouvert la voie pour trouver des solutions singulières de l’équation complète et de l’équation de Schrödinger défocalisante. « La force de notre équipe réside dans la diversité de notre culture scientifique », explique Raphaël. « Cela crée un certain chaos, et nous nous perdons souvent, mais explorer des territoires inconnus en bonne compagnie est la meilleure partie de notre travail ».

La deuxième partie du travail, qui a conduit à la publication d’une impressionnante série de trois articles de plus de 450 pages en tout, a été plus systématique, mais pas pour autant plus facile. Elle a consisté à appliquer les compétences et l’expertise mathématiques que les quatre mathématiciens avaient affinées au cours des années précédentes.

Les simulations numériques et l’intuition mathématique avaient conduit les mathématiciens à écarter la possibilité de solutions singulières pour l’équation de Schrödinger non linéaire dans le cas défocalisant, au point que le médaillé Fields Jean Bourgain, ancien professeur permanent à l’IHES, avait formalisé cela dans une conjecture. Les solutions trouvées par le quartet sont au contraire divergentes, ce qui rend les résultats reconnus par le prix Bôcher 2023 d’autant plus révolutionnaires.

Frank Merle, qui a déjà reçu le prix Bôcher en 2005 pour ses travaux sur l’analyse des équations de dispersion non linéaires, est le seul chercheur à l’avoir reçu deux fois. « Je suis très reconnaissant pour cette récompense. Le prix Bôcher que j’ai reçu en 2005 a beaucoup compté pour moi, car c’était la première fois que mon travail de mathématicien était reconnu à haut niveau. Je suis particulièrement heureux de pouvoir partager ce deuxième prix avec Pierre, Igor et Jérémie ».

Le prix Bôcher est décerné tous les trois ans pour un travail de recherche remarquable en analyse publié dans une revue scientifique au cours des six années précédentes. Le prix 2023 sera décerné le mercredi 4 janvier au cours du Joint Mathematics Meetings de l’AMS à Boston.

 

[1] On the implosion of a compressible fluid II: singularity formation. Ann. of Math. (2) 196 (2022), no. 2, 779–889. arXiv:1912.11009

[2] On the implosion of a compressible fluid I: smooth self-similar inviscid profiles. Ann. of Math. (2) 196 (2022), no. 2, 567–778. arXiv:1912.10998

[3] On blow up for the energy super critical defocusing nonlinear Schrödinger equations. Invent. Math. 227 (2022), no. 1, 247–413. arXiv:1912.11005