ERC Advanced Grant : AAMOT (Arithmetic of Automorphic Motives)

PI : Michael HARRIS

 

Inspiré par la conjecture de Deligne, on peut conjecturer une relation entre les valeurs spéciales de fonctions L de Rankin-Selberg et les périodes automorphes pour GLn * GLm sur un corps CM. Dans cet exposé, je vais introduire une nouvelle approche proposé par Michael HARRIS pour étudier cette relation. Je vais d’abord présenter les résultats connus. Puis, je vais expliquer comment la conjecture de Ichino-Ikeda implique les cas manquant. Il s’agit d'un travail en commun avec H. Grobner et M. Harris.

Soit X une courbe projective lisse et G un groupe réductif au dessus d'un corps de base k.

 

La correspondance de Langlands géométrique vise à comparer la catégorie des D-modules sur le champ Bun_G des G-fibrés sur X avec la catégorie des faisceaux quasi-cohérents sur le champ LocSys_{G^L}, où G^L est le groupe dual de G au sens de Langlands. On peut imaginer une telle équivalence comme une transformation de Fourier non-abélienne. Pour cette raison, elle est extrêmement difficile à démontrer. 

 

Cependant, si k est de caractéristique positive, les deux côtés deviennent assez proches de leurs limites quasi-classiques (à savoir, les espaces de Hitchin correspondants) que l'on peut comparer grace à la transformation de Fourier-Mukaï habituelle (c'est-à-dire, abélienne). Cette idée a été suggérée dans l'article de Bezrukavnikov-Braverman et puis développée par Bezrukavnikov, Chen, Travkin et Zhu.

 

Dans cet exposé j'expliquerai les idées principales de cette théorie, ainsi qu'une application à la théorie en caractéristique 0, à savoir la construction de faisceaux automorphes à partir des *opers*, selon un article récent de Bezrukavnikov-Travkin.

I will start by an introduction to Donaldson Thomas theory and some of the statements about its modularity properties, as well as its connection to S-duality conjecture in superstring theory, made formerly by physicists Gaiotto, Strominger, Yin. I will then provide an algebraic geometric approach to prove this conjecture for DT invariants of sheaves supported on hyperplane sections of the quintic Calabi-Yau threefold.

We will consider abelian coverings of smooth projective varieties over finite fields which are wildly ramified along a divisor D with normal crossings, and will describe the corresponding abelianized fundamental group via modified logarithmic de Rham-Witt sheaves.

We shall address the duality between supersymmetric gauge theories in various dimensions and elliptic integrable systems such as Ruijsenaars-Schneider model and periodic intermediate long wave hydrodynamics. These models arise in instanton counting problems and are described by certain elliptic algebras. We discuss the correspondence between the two types of models by employing the large-n limit of the dual gauge theory.

Classical Teichmüller space describes the space of conformal structures on a given topological surface S. It plays an important role in several areas of mathematics as well as in theoretical physics.

Higher Teichmüller theory generalizes several aspects of classical Teichmüller theory to the context of Lie groups of higher rank, such as the symplectic group PSp(2n; R) or the special linear group PSL(n; R). So far, two families of higher Teichmüller spaces are known. The Hitchin component, which is defined when the Lie group is a split real forms, and the space of maximal representations, which is defined for Lie groups of Hermitian type. Interestingly, both families are linked with various notions of positivity in Lie groups.

In this talk I will give an introduction to higher Teichmüller theory, introduce new positive structures on Lie groups and discuss the (partly conjectural) relation between the two.

On présentera une classe particulière de représentations des groupes des sphères épointées dans PSL(2,R) que nous appelons super-maximales. On montrera que ces représentations sont totalement non hyperboliques, dans le sens que les courbes fermées simples sont envoyées sur des éléments elliptiques ou paraboliques. On montrera également que les représentations super-maximales sont géométrisables par des orbifolds hyperboliques dans un sens très fort. Enfin, on montrera que les représentations super-maximales définissent des composantes compactes dans certaines variétés de caractères relatives, qui sont symplectomorphes à des espaces projectifs complexes, ce qui généralise un résultat de Benedetto-Goldman dans le cas des sphères moins quatre points. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Nicolas Tholozan.

This is a joint work with Ivan Panin (St. Petersburg). Using the machinery of framed correspondences and framed sheaves developed by Voevodsky in the early 2000-s, a triangulated category of framed motives of smooth algebraic varieties is introduced and studied. To any smooth algebraic variety X we associate the framed motive Mfr (X), which is an object of this category. One of the main results states that the bispectrum
 

(Mfr(X), Mfr(X)(1), Mfr(X)(2), …)

each term of which is a twisted framed motive of X, has motivic homotopy type of the suspension bispectrum of X (this result is an A1-homotopy analog of a theorem of G. Segal). We also construct a triangulated category of framed bispectra and show that it reconstructs the motivic stable homotopy theory SH(k) in the sense of Morel-Voevodsky. As a topological application, it is shown that the framed motive of the point evaluated at the point yields an explicit model for the classical sphere spectrum whenever the base field is algebraically closed of characteristic zero. Over such a field an explicit model for the space Ω∞Σ∞Sn with Sn a sphere is given in terms of framed correspondences. This machinery also allows to recover in characteristic zero the celebrated theorem of Morel stating that the stable π 0,0(k) equals the Grothendiek-Witt ring of the field k.

A simple étude on the mathematics of twistor integrals.

Il s‘agit d’un travail en commun avec Jeremy Kahn et Shahar Mozes. Nous montrons que les réseaux dans certains groupes de Lie non compacts — en particulier tous les groupes complexes — possèdent des sous-groupes isomorphes à des groupes de surfaces. Nous montrons de plus que ces sous-groupes sont « quasi-symmétriques » par rapport à un choix préalable d’un SL(2) en un sens à préciser. Nous donnerons quelques idées de la preuve, qui suit le schéma du travail fondateur de Kahn—Markovic, en insistant sur le nouvel outil : l’étude de triangles dans les variétés de drapeaux.

Nous discuterons de tores d’Einstein et de leurs intersections, à l’aide de la correspondance entre l’univers d’Einstein de dimension trois et l’espace des plans lagrangiens dans R^4 symplectique. Comme application, nous discuterons d’un critère pour que des surfaces appelées « surfaces croches » soient disjointes, en reliant ce critère à celui de Danciger-Guéritaud-Kassel.

(Travail conjoint avec Jean-Philippe Burelle, Dominik Francoeur et Bill Goldman.)