Mini-cours

I would like to explain a classification result for p-divisible groups, which unifies many of the existing results in the literature. The main tool is the theory of prisms and prismatic cohomology recently developed by Bhatt and Scholze. This is joint work with Johannes Anschütz.

Living organism, considered as a complex biological system, sustains its functionality through interconnected molecular transformations denoted as metabolism. Modern biomedical technologies allow simultaneous measurement of near all (small) organic molecules in a microsample of a biofluid such as blood. For the analysis of system viability, a complete set of metabolites from blood – blood metabolome – is of a prime resolution power, because i) metabolites are the final entities of the body’s life-sustaining functionality in the line gene → proteine → metabolite, and as such totalize in their concentrations the organismal processes at all organisational levels, and ii) circulating blood, serving as a transmitter for all metabolites, is a whole-body metabolic information integrator. We collect blood metabolome data in a format of a comprehensive set of concentrational curves on a time trajectory health-to-disease, and explore the applicability of mathematical approaches for stability measurement to these big biodata sets in search for markers of pre-pathological metabolism sustainability violations.

I shall give a brief introduction to Mathieu Moonshine, an observation made in 2010 in the context of string theory compactified on a K3 surface and whose significance in string theory remains elusive. Attempts to understand the mathematical structure behind this observation have included techniques from Number Theory, Group Theory and Geometry. I will discuss how geometry provides an interesting angle when attempting to explain the presence of the huge Mathieu 24 discrete symmetry in string theories compactified on a K3 surface.

I'll discuss the modular properties of D3-brane instantons appearing in Calabi-Yau string compactifications. I'll show that the D3-instanton contribution to a certain geometric potential on the hypermultiplet moduli space can be related to the elliptic genus of (0,4) SCFT. The modular properties of the potential imply that the elliptic genus associated with non-primitive divisors of Calabi-Yau is only mock modular. I'll show how to construct its modular completion and prove the modular invariance of the twistorial construction of D-instanton corrected hypermultiplet moduli space.

I will present a proof of a comparison isomorphism, up to some universal constants, between truncated sheaves of p-adic nearby cycles and syntomic cohomology sheaves on semistable schemes over a mixed characteristic local rings. This generalizes the comparison results of Kato, Kurihara, and Tsuji for small Tate twists (where no constants are necessary) as well as the comparison result of Tsuji that holds over the algebraic closure of the field. This is a joint work with Pierre Colmez.

Etant donnée une carte planaire avec deux sommets marqués à distance k l'un de l'autre, le périmètre du hull à distance d (d<k) est la longueur de la frontière qui sépare les deux sommets et se situe à distance d du premier. Dans la cas des triangulations et des quadrangulations, je montrerai comment fabriquer explicitement une fonction génératrice qui contrôle précisément ce périmètre. J'en déduirai un certain nombre de propriétés statistiques, fonctions de d et k, du périmètre du hull à distance d dans la limite des grandes cartes. Comme ingrédient principal de la construction, on retrouvera les "slices" (connues pour fournir des codages bijectifs des cartes avec un contrôle fin sur les distances) et plus précisément une nouvelle récurrence pour la génération de ces slices qui donne accès au périmètre du hull.

Les cartes uniformes infinies du demi-plan ont été introduites par Angel comme limites de grandes triangulations ou quadrangulations planaires à bord uniformes. Le but de cet exposé est d’étudier quelques aspects des modèles de percolation sur ces objets. On calculera d’abord le seuil de percolation par site dans le cas quadrangulaire, puis on généralisera un résultat dû à Angel sur la limite d’échelle des probabilités de croisement sur le bord, qui constitue un analogue naturel de la formule de Cardy pour les réseaux réguliers. Dans un second temps, on s’intéressera à l’amas critique émergent (Incipient Infinite Cluster), une triangulation du demi-plan obtenue en conditionnant l'amas issu de l’origine à être infini, suivant l’idée originale de Kesten pour le réseau carré. On donnera une décomposition de la triangulation uniforme infinie du demi-plan et de l’amas critique émergent en arbres de triangulations finies indépendantes, qui mettent en évidence la déformation de la géométrie induite par l’amas critique infini.

Soit v un chemin arbitraire constitué de pas Nord et Est. Le treillis Tam(v), basé sur tous les chemins faiblement au dessus de v avec les mêmes extrémités que v, a été introduit par Préville-Ratelle et Viennot (2014) et correspond au treillis de Tamari classique dans le cas v=(NE)n. Ils ont démontré que Tam(v) est isomorphe au treillis dual de Tam(w), où w est v renversé avec N et E échangés. Notre contribution principale est une bijection entre les intervalles de Tam(v) et les cartes planaires non-séparables. Il s'ensuit que le nombre d'intervalles dans Tam(v) sur tous les chemins v de longueur n est donné par 2(3n+3)! / (n+2)! / (2n+3)!. Cette formule a été obtenue par Tutte (1963) pour les cartes planaires non-séparables. Nous démontrons aussi que l'isomorphisme entre Tam(v) et le dual de Tam(w) est équivalent à la dualité des cartes par notre bijection.
Travail joint avec Louis-François Préville-Ratelle.

Je présenterai un travail en cours avec Linxiao Chen et Nicolas Curien. On s'intéresse aux périmètres des boucles du modèle O(n) critique sur une quadrangulation uniforme, n ∈ (0,2). Ces boucles sont naturellement munies d'une structure de branchement ; nous montrons que l'arbre des périmètres converge après renormalisation vers une cascade multiplicative dont la loi de reproduction ( xi )i ≥1 est liée aux sauts d'un processus de Lévy α-stable avec α = 3/2 ± (1/π) arccos(n/2). La transformée de Mellin de cette cascade est donnée explicitement par

Un ingrédient important de la preuve est une nouvelle formule pour le premier moment d'une fonctionnelle additive des sauts d'une marche aléatoire continue à gauche sur les entiers, arrêtée à un temps d'atteinte.

In a 2-page note of 1969, Victor Kac described automorphisms of
finite order of simple Lie algebras over the field of complex numbers
C. He used certain diagrams that were later called Kac diagrams. In
this talk I will explain the method of Kac diagrams for calculating
the Galois cohomology set H^1(R,G) for a connected semisimple
algebraic group G (not necessarily simply connected or adjoint) over
the field of real numbers R. I will use real forms of the half-spinor
group of type D_{2n} as examples.

This is a joint work with Dmitry A. Timashev.