Dans ce cours nous étudierons plusieurs modèles de graphes aléatoires allant du plus classique (le modèle d'Erdös-Renyi introduit en 1960) aux plus récents (les cartes planaires aléatoires étudiées depuis le début des années 2000). Le fil conducteur du cours sera la notion de convergence locale et les propriétés des graphes limites dits dilués.

Contenu du cours :

– Modèle d'Erdös-Renyi, transition de phase et propriétés de base
– Convergence locale et "méthode objective" d'Aldous et Steele
– Arbre couvrant minimum et théorème de Frieze 
– Graphes aléatoires unimodulaires
– Limites locales d'arbres aléatoires
– Limites locales de cartes aléatoires (construction, épluchage, théorème de Benjamini-Schramm)

Dans ce cours nous étudierons plusieurs modèles de graphes aléatoires allant du plus classique (le modèle d'Erdös-Renyi introduit en 1960) aux plus récents (les cartes planaires aléatoires étudiées depuis le début des années 2000). Le fil conducteur du cours sera la notion de convergence locale et les propriétés des graphes limites dits dilués.

Contenu du cours :

– Modèle d'Erdös-Renyi, transition de phase et propriétés de base
– Convergence locale et "méthode objective" d'Aldous et Steele
– Arbre couvrant minimum et théorème de Frieze 
– Graphes aléatoires unimodulaires
– Limites locales d'arbres aléatoires
– Limites locales de cartes aléatoires (construction, épluchage, théorème de Benjamini-Schramm)

Dans ce cours nous étudierons plusieurs modèles de graphes aléatoires allant du plus classique (le modèle d'Erdös-Renyi introduit en 1960) aux plus récents (les cartes planaires aléatoires étudiées depuis le début des années 2000). Le fil conducteur du cours sera la notion de convergence locale et les propriétés des graphes limites dits dilués.

Contenu du cours :

– Modèle d'Erdös-Renyi, transition de phase et propriétés de base
– Convergence locale et "méthode objective" d'Aldous et Steele
– Arbre couvrant minimum et théorème de Frieze 
– Graphes aléatoires unimodulaires
– Limites locales d'arbres aléatoires
– Limites locales de cartes aléatoires (construction, épluchage, théorème de Benjamini-Schramm)

Consider a reductive group G over a p-adic field F. The local Langlands conjecture relates the irreducible smooth representations of G(F) with the set of (local) L-parameters, which are maps from the Weil group of F to the L-group of G; refinements of the conjecture relate the fibres of this map with the automorphism group of the L-parameter. Based on ideas from V. Lafforgue's work in the global function field case, I outlined a strategy for attaching (semisimple) L-parameters to irreducible smooth representations of G(F) in my 2014 Berkeley course. At the same time and place, L. Fargues formulated a conjecture relating the local Langlands conjecture with a geometric Langlands conjecture on the Fargues-Fontaine curve. The goal of this course will be to discuss some of the developments since then. On the foundational side, this concerns basics on the etale cohomology of diamonds including smooth and proper base change and Poincare duality, leading up to a good notion of "constructible" sheaves on the stack of G-bundles on the Fargues-Fontaine curve. On the applied side, this concerns the construction of (semisimple) L-parameters, the conjecture of Harris (as modified by Viehmann) on the cohomology of non-basic Rapoport-Zink spaces, and the conjecture of Kottwitz on the cohomology of basic Rapoport-Zink spaces.

 

Retrouvez toutes ces informations sur le site de la Fondation Mathématique Jacques Hadamard :

https://www.fondation-hadamard.fr/fr/evenements/lecons-hadamard

 

Consider a reductive group G over a p-adic field F. The local Langlands conjecture relates the irreducible smooth representations of G(F) with the set of (local) L-parameters, which are maps from the Weil group of F to the L-group of G; refinements of the conjecture relate the fibres of this map with the automorphism group of the L-parameter. Based on ideas from V. Lafforgue's work in the global function field case, I outlined a strategy for attaching (semisimple) L-parameters to irreducible smooth representations of G(F) in my 2014 Berkeley course. At the same time and place, L. Fargues formulated a conjecture relating the local Langlands conjecture with a geometric Langlands conjecture on the Fargues-Fontaine curve. The goal of this course will be to discuss some of the developments since then. On the foundational side, this concerns basics on the etale cohomology of diamonds including smooth and proper base change and Poincare duality, leading up to a good notion of "constructible" sheaves on the stack of G-bundles on the Fargues-Fontaine curve. On the applied side, this concerns the construction of (semisimple) L-parameters, the conjecture of Harris (as modified by Viehmann) on the cohomology of non-basic Rapoport-Zink spaces, and the conjecture of Kottwitz on the cohomology of basic Rapoport-Zink spaces.

 

 

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https://www.fondation-hadamard.fr/fr/evenements/lecons-hadamard

Consider a reductive group G over a p-adic field F. The local Langlands conjecture relates the irreducible smooth representations of G(F) with the set of (local) L-parameters, which are maps from the Weil group of F to the L-group of G; refinements of the conjecture relate the fibres of this map with the automorphism group of the L-parameter. Based on ideas from V. Lafforgue's work in the global function field case, I outlined a strategy for attaching (semisimple) L-parameters to irreducible smooth representations of G(F) in my 2014 Berkeley course. At the same time and place, L. Fargues formulated a conjecture relating the local Langlands conjecture with a geometric Langlands conjecture on the Fargues-Fontaine curve. The goal of this course will be to discuss some of the developments since then. On the foundational side, this concerns basics on the etale cohomology of diamonds including smooth and proper base change and Poincare duality, leading up to a good notion of "constructible" sheaves on the stack of G-bundles on the Fargues-Fontaine curve. On the applied side, this concerns the construction of (semisimple) L-parameters, the conjecture of Harris (as modified by Viehmann) on the cohomology of non-basic Rapoport-Zink spaces, and the conjecture of Kottwitz on the cohomology of basic Rapoport-Zink spaces.

 

 

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https://www.fondation-hadamard.fr/fr/evenements/lecons-hadamard

By quantum matrix algebras I mean these related to braidings (solutions to Quantum Yang-Baxter Equation) and in a sense similar to the classical matrix algebras. In first turn, I am interested in the so-called Reflection Equation algebra. By using it, me (in collaboration with P.Saponov) have introduced the notion of partial derivatives on the enveloping algebra U(gl(m)). This leads to a new type of Noncommutative Geometry (we call it Quantum Geometry), which is deformation of the classical one. In my talk I plan to consider a way of defining some dynamical models on U(u(2)) background.

ERC Advanced Grant : AAMOT (Arithmetic of Automorphic Motives)

PI : Michael HARRIS

 

Soit G un groupe réductif sur un corps global de caractéristique positive.  Vincent Lafforgue a montré comment associer un paramètre de Langlands à une représentation automorphe cuspidale de G.  Le paramètre est un homomorphisme du groupe de Galois global à valeurs dans le  L-groupe  LG of G.   Mon exposé porte sur mes travaux en cours avec Böckle, Khare, et Thorne sur la méthode de Taylor-Wiles-Kisin dans le cadre de la correspondance de Lafforgue.  De nouvelles questions se manifestent des deux côtés de la correspondance lorsque nous essayons de généraliser les travaux antérieurs de Böckle and Khare sur le cas de GL(n).  Sous certaines hypothèses sur le paramètre de Langlands, nous pouvons appliquer les arguments de modularité de manière inconditionnelle ;  alors nous obtenons un théorème de modularité potentiel pour un groupe déployé adjoint quelconque.

ERC Advanced Grant : AAMOT (Arithmetic of Automorphic Motives)

PI : Michael HARRIS

 

Dans une situation non ramifiée d'endoscopie tordue sur un corps p-adique, on peut énoncer un lemme fondamental tordu pour toutes les fonctions biinvariantes par un compact maximal hyperspécial. J. Arthur a démontré l'existence du transfert spectral dans le cas non tordu et cela a été généralisé au cas tordu par C. Moeglin. Le lemme fondamental en question équivaut plus ou moins à déterminer le transfert spectral des paquets stables contenant une représentation non ramifiée. Dans un premier article, B. Lemaire, C. Moeglin et moi avons prouvé ce lemme en utilisant cette interprétation spectrale. La preuve utilise le cas particulier du lemme appliqué à la fonction caractéristique d'un espace hyperspécial, ce qui est le théorème de Ngo Bao Chau. Mais celui-ci impose des restrictions sur la caractéristique résiduelle. Dans un second article avec B. Lemaire, nous supprimons ces restrictions. En fait, nous n'avons besoin du théorème de Ngo Bao Chau que dans une situation très particulière où le groupe endoscopique est un tore non ramifié. On montre que, dans ce cas, l'assertion résulte du lemme fondamental non tordu mais avec caractère pour les groupes GL(n). Celui-ci est connu grâce à T. Hales. Dans l'exposé, j'expliquerai les grandes lignes des deux articles.

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Abstract: In this talk, I will talk about the motivic McKay correspondence studied by Batyrev and Denef-Loeser and its generalization to positive and mixed characteristics by myself partly in collaboration with M.M. Wood. The latter relates stringy invariants of singularities to weighted counts of Galois extensions of a local field.

For a finite dimensional linear representation of a finite group, the motivic McKay correspondence says that the motivic stringy invariant of the associated quotient variety is equal to a finite sum of classes of affine spaces in a certain modification of the Grothendieck ring of varieties.

In order to understand wild quotient singularities, which are known to be typical “bad” singularities in positive/mixed characteristics, I started an attempt to generalize the motivic McKay correspondence to positive and mixed characteristics and formulated a conjectural generalization. Here, the finite sum of classes of affine varieties is replaced with a motivic integral over the (conjectural) moduli space of G-covers of formal discs. When the base field (or the residue field if working over a complete DVR) is finite, then the point counting realization of this motivic integral is a weighted count of Galois extensions of the power series field (or the fraction field of the DVR). Such counts were previously studied by number-theorists including Krasner, Serre, Bhargava, Kedlaya and Wood. The point counting version of the McKay correspondence was recently proved by myself. A part of my motivation of this work is a search for a counterexample of resolution of singularities, which has not been successful till now.

If time allows, I will also explain that from this result and a heuristic argument, one can relate Malle’s conjecture on distribution of Galois extensions of number fields and Manin’s conjecture on distribution of rational points on Fano varieties.

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Abstract: In this talk, we will recall the theory of generalized HKR isomorphisms, due to Arinkin and Cāldāraru. Then we will explain how deformation theory allows us to describe arbitrary first order derived intersections.

We establish connections between two objects, naturally arising in the theory of the Kadomtsev-Petviashvily equation: totally positive Grassmannians and rational degenerations of the M-curves (Riemann surfaces with an anitiholomorphic involutuin and the maximal possible number of real ovals) with a collection of marked points. More precisely, we show that, at least all points from the principal cell of the Grassmannian can be obtained from degenerate M-curves. (Joint work with Simonetta Abenda (Universita degli Studi di Bologna).)