Les Leçons Hadamard sont une série de cours avancés dans des domaines très actifs des mathématiques, organisées par la Fondation Mathématiques Jacques Hadamard (FMJH) à l’IHES.

Peter Scholze (Université de Bonn) sera à l’IHES les 27, 29, 31 mars  et  les 10, 12, 14 avril (10:30-12:30) pour une série sur « the local Langlands conjectures for reductive groups over p-adic fields. »

Jeune mathématicien allemand, travaillant à l’interface entre théorie des nombres et géométrie algébrique, il est déjà venu à l’IHES plusieurs fois, et a notamment donné le premier Cours d’Arithmétique et de Géométrie Algébrique de l’IHES. Il était alors très jeune et présentait le contenu de sa thèse qui s’est depuis imposée comme un outil important en géométrie arithmétique. L’article qu’il a rédigé pendant ce cours est paru aux Publications mathématiques de l’IHES.

> Retrouvez les notes du premier Cours d’Arithmétique et de Géométrie Algébrique « Perfectoid Spaces and the Weight-Monodromy Conjecture » ici.

> Trouvez ci-dessous la vidéo de sa première leçon Hadamard :

From July 17 to July 28, 2017 IHES will host the Summer School on « Spectral properties of large random objects ». Co-funded by Société Générale and the Fondation mathématique Jacques Hadamard the school is organised by Hugo Duminil-Copin (IHES), Nicolas Curien, Jean-François Le Gall, and Stéphane Nonnenmacher, all affiliated to Université Paris-Sud.

The aim of the school is to present a broad view on large random objects to a selected audience of students and postdocs. Spectral properties of large random objects have been a very active playground in probability theory, mathematical physics and computer science during the last few decades, with manifold motivations: viewing random matrices as a model for complicated quantum Hamiltonians, studying random Schrödinger operators to understand the Anderson localization phenomenon, viewing eigenvectors of random matrices as models for eigenmodes of quantized chaotic systems, or understanding the geometry of large (random) graphs such as expanders via the spectral properties of their adjacency matrices. In those studies the emphasis is generally put either on the eigenvalues or on the eigenvectors of the object.

The school will include eight mini-courses given by international outstanding experts on the topic:

Charles Bordenave (Université de Toulouse), Paul Bourgade (New York University), Frédéric Klopp (Université Pierre et Marie Curie), Eyal Lubetzky (New York University), Yuval Peres (Microsoft Research), Christophe Sabot (Université de Lyon 1), Balint Virag (University of Toronto),
Simone Warzel (Technische Universität München).

Applications are open until 31 March 2017 on the Summer School webpage, where more details can be found on the courses that will be offered and on the possibilities for funding.

Dans le cadre des Journées Européennes du Patrimoine, l’IHES a ouvert ses portes au public le samedi 17 septembre 2016. Près de 300­ personnes ont exploré le site du Bois-Marie, rencontré des chercheurs d’exception, visité l’exposition créée pour l’occasion ­et découvert des archives inédites.

Laurent Lafforgue, mathématicien, professeur permanent depuis 2000 et médaille Fields 2002, a tenu une conférence sur la « Créativité en mathématiques selon Grothendieck ». Il est revenu sur l’importance de cette notion chez le grand mathématicien.

Emmanuel Ullmo, directeur de l’Institut, a accompagné les visiteurs à travers les différents lieux où les chercheurs ont discuté, conçu et échangé leurs idées depuis près de 60 ans. La visite des endroits où se déroule la vie scientifique de l’Institut a été suivie par la découverte de la sculpture « Skolem, choc de blocs & chiffres au vent », qui a permis aux visiteurs de réveiller les mathématiciens qui sommeillent en eux.

La journée s’est conclue avec une table ronde à laquelle ont participé Pierre Cartier et Alain Connes, professeur Léon Motchane depuis 1979 et médaille Fields 1982, et animée par Anne-Sandrine Paumier et Emmanuel Ullmo, dont le thème a été « Histoires et interactions à l’IHES ».

Les visiteurs ont également pu apprécier une large exposition sur le « Patrimoine scientifique de l’IHES », qui résumait les premières années de l’Institut avec présentation d’une sélection d’archives inédites.

 

Les documents d’archives présentés lors de l’exposition, ainsi qu’une sélection d’archives historiques de l’IHES, ont été numérisés avec le soutien de la Diagonale Paris-Saclay.

Ce programme, qui a réuni plus de 80 grands scientifiques dans le domaine sur trois mois ainsi que de nombreux étudiants pendant l’École d’été, a pu être organisé grâce au soutien de la Commission européenne au travers d’un ERC Advanced Grant (Principal Investigator: F. Merle) « Blow up, dispersion and solitons (Blowdisol) » hébergé par l’université de Cergy-Pontoise. Les contributions de la Société Générale et du Clay Mathematics Institute ont également été cruciales pour l’organisation de l’École d’été qui a conclu ce magnifique trimestre.

Deux des organisateurs du trimestre IHES avaient déjà organisé un semestre thématique à l’IHP au printemps 2009, intitulé « Ondes non linéaires et dispersion ». Ce précédent programme avait pour objectif de faire le point sur près de vingt ans de développements reliés aux équations non linéaires dispersives « modèles », de Korteweg-de-Vries à l’équation de Schrödinger non linéaire en passant par l’équation des ondes sous diverses formes. Cette activité, impulsée surtout aux États-Unis par des chercheurs venus de l’analyse harmonique (C. Kenig, G. Ponce, L.Vega, J. Bourgain) a naturellement rencontré les efforts pionniers menés en Europe par J.Ginibre, G. Velo, J.-C. Saut, puis H. Bahouri, J.-Y. Chemin, P. Gérard, F. Merle et bien d’autres à leur suite. Le programme de 2009 avait connu un fort succès, avec une participation très importante de très nombreux invités étrangers de haut niveau, certains pour la durée du programme, d’autres pour au moins un mois. En quelque sorte, ce programme avait clos un cycle de l’activité dans le champ des équations dispersives, centrée autour des problèmes de Cauchy pour les diverses équations modèles. Dans le même temps, il avait également permis d’exposer divers développements alors récents : l’analyse de modèles explosifs comme Schrödinger focalisant, ou encore les méthodes de concentration-compacité-rigidité (qui ont également essaimé au-delà des modèles dispersifs).

L’activité scientifique du domaine est aujourd’hui, d’une certaine façon, beaucoup plus diversifiée qu’il y a quatre ou cinq ans, et cela se reflète dans l’activité scientifique menée durant ce trimestre thématique à l’IHES : l’analyse des principaux modèles dispersifs jouets s’est déplacée vers des questions délicates reliées à l’asymptotique des solutions, que ce soit dans une description dynamique précise des régimes explosifs ou dans les progrès vers la conjecture de résolution des solitons, avec l’analyse des collisions entre plusieurs solitons, ou bien encore avec l’étude de la stabilité des solutions de type breather. L’émergence d’un corpus de techniques bien identifiées a également permis d’illustrer leur versatilité, avec leur développement fructueux sur des modèles au-delà du dispersif, notamment sur des équations géométriques dispersives encore inabordables il y a peu (par exemple, l’analyse de l’explosion pour les Schrödinger maps) et également, comme déjà mentionné, pour revisiter les équations paraboliques. De manière plus générale, des théorèmes de classification du comportement des solutions de divers modèles non linéaires ne sont plus inatteignables, et le trimestre a vu une activité importante de présentation (séminaires, cours de la fondation Hadamard et à l’École d’été par C.Kenig) des résultats récents de T.Duyckaerts, C.Kenig et F. Merle sur la résolution en solitons des solutions de l’équation des ondes non linéaires focalisante d’énergie critique.

Dans le même temps, une intense activité de développement autour des effets dispersifs se poursuit sur des modèles beaucoup plus délicats, souvent plus proches de la réalité physique. Même des modèles plus simples mais physiques comme l’équation de Dirac (non linéaire) présentent des difficultés non encore rencontrées avec les ondes ou Schrödinger. Le trimestre IHES a permis l’interaction de nombreux chercheurs d’horizons divers sur des modèles fluides comme les « water waves » et plus généralement dans les modèles de type ondes/dispersifs qui apparaissent dans de nombreuses dérivations « asymptotiques » de phénomènes fluides. Les effets dispersifs ont joué un rôle prépondérant dans les résultats d’existence et d’asymptotique les plus récents qui ont été présentés lors des séminaires, des deux conférences et de l’école d’été. Dans le cadre des « water waves », on s’intéresse maintenant surtout à l’asymptotique, et également à des modèles de plus en plus sophistiqués et proches de la réalité physique (tension de surface, profondeur finie, etc.)

De nouveaux développements se produisent, notamment sur le cas 2D, qui est le plus difficile : il y a un phénomène de décollement de phase dans l’étude du scattering qui n’avait jamais été étudié sur un problème quasilinéaire. Tous ces résultats sont prometteurs parce qu’ils introduisent de nouveaux outils, susceptibles d’applications diverses dans le champ des modèles dispersifs fluides et au-delà. L’étude des filaments de vortex connaît également d’intéressants développements en connexion avec les équations dispersives géométriques comme les « Schrödinger maps » ou mKdV, qui ont été présentés pendant le trimestre. Même dans le vide, la compréhension de la géométrie de l’espace-temps passe par l’analyse de délicates équations des ondes quasilinéaires ; de multiples avancées dans le cadre de la relativité générale, dont certaines ont été très directement influencées par les développements rapides de l’analyse des modèles dispersifs, ont été discutées et présentées lors des divers événements du trimestre.

Rappelons que le domaine a ainsi connu ces dernières années plusieurs avancées majeures, de la résolution de la « conjecture de courbure L2 » (S. Klainerman, I. Rodnianski et J. Szeftel) à la stabilité linéaire de la famille de métriques de Kerr (M. Dafermos, I. Rodnianski, D. Tataru, etc.), deux questions où la compréhension des phénomènes dispersifs joue un rôle essentiel. La formation des surfaces piégées (D.Christodoulou, S.Klainerman, I. Rodnianski) rentre également dans le cadre de l’analyse asymptotique, avec des outils très proches de l’analyse microlocale, et le trimestre a été l’occasion d’exposer les plus récents développements sur ces sujets très actifs.

Par ailleurs, les équations linéaires continuent de générer une activité importante, dans des cadres plus proches des modèles physiques réalistes : géométrie « compliquée » (métrique variable, éventuellement peu régulière, présence de conditions au bord, influence de la géométrie de l’environnement sur la propagation et la dispersion). Enfin, signalons une activité en croissance, dans un champ d’investigation à l’interface des EDPs dispersives et des probabilités, qui a connu un Carlos Kenig trimestre ondes non linéaires 5 Oana Ivanovici développement rapide, avec l’étude d’équations dispersives non linéaires où la donnée initiale est choisie presque sûrement dans un espace hors d’atteinte des théories déterministes.

Les objectifs du trimestre IHES étaient multiples : faire un point d’étape sur ce nouveau cycle ouvert il y a quelques années, porter une attention particulière aux jeunes qui travaillent dans ces domaines où la complexité croissante des activités rend le début de carrière de plus en plus difficile. D’autre part, il s’agissait également de rapprocher des chercheurs pour lesquels les points de convergence sont encore plus évidents aujourd’hui qu’ils ne l’étaient en 2009 : citons les importantes communautés françaises de l’étude mathématique de modèles fluides, de la théorie cinétique, des systèmes dynamiques et des équations aux dérivées partielles en lien avec des modèles hamiltoniens en dimension infinie. Aux États-Unis, les activités centrées autour des modèles dispersifs, de la mécanique des fluides et des ondes non linéaires (notamment en lien avec la relativité générale et la physique mathématique) sont en pleine croissance (comme l’a illustré le succès d’un très gros programme thématique au MSRI à l’automne 2015). Toutes ces communautés ont aujourd’hui des recouvrements ponctuels reconnus, l’activité scientifique du trimestre IHES aura permis de fédérer ces activités, en permettant de nombreux échanges fructueux entre scientifiques d’horizon divers.

Le trimestre IHES a été un succès, illustré par un nombre important de professeurs invités restant plusieurs semaines et, pour certain.e.s, plusieurs mois (plus de 80 invité.e.s sur les trois mois), et par une très forte demande pour l’École d’été qui a clôturé le programme scientifique. S’il est trop tôt pour mesurer l’impact scientifique du trimestre lui-même – tout au plus peut-on remarquer que le continuum d’activités depuis l’automne au MSRI jusqu’au Bois-Marie en juillet semble avoir accéléré certains développements -, on peut néanmoins citer quelques tendances : l’objectif de classifier la dynamique de modèles d’équations aux dérivées partielles hamiltonienne n’apparaît plus inatteignable, une résolution complète de la conjecture des solitons sur des modèles non intégrables n’a jamais été aussi proche ; les techniques issues des modèles dispersifs sont maintenant prévalentes dans la plupart des travaux reliés aux équations de la physique mathématique, de la relativité générale et de la mécanique des fluides. Il est frappant de constater que des chercheurs de plus en plus nombreux travaillent de façon indifférenciée sur ces divers thèmes, et que chaque progrès thématique se propage très rapidement à l’ensemble des thèmes connexes.

 

> Retrouvez les vidéos de la conférence de mai et de la conférence de juin sur la chaîne YouTube de l’IHES.

> Plus de détails sur l’école d’été « ondes non linéaires »

 

Le trimestre onde non linéaires s’est conclu par l’École d’été de deux semaines, avec une alternance de mini-cours, destinés à présenter des sujets de recherche actifs, et des exposés de travaux de recherche plus classiques qui ont illustré la diversité et la richesse thématique du trimestre.

Les mini-cours ont été donnés par R. Frank (California Institute of Technology), C. Kenig (University of Chicago), N. Masmoudi (Courant Institute of Mathematical Sciences), B. Pausader (Brown University), M. Procesi (Universita di Roma 1), R. Strain (University of Pennsylvania), D. Tataru (University of California at Berkeley). Ils ont illustré la diversité et la richesse thématique du trimestre, donnons-en les titres (dans l’ordre précédent des orateurs) :
« A microscopic derivation of Ginzburg-Landau theory »
« Soliton resolution for the energy critical wave equation »
« Stability of the 3D Couette Flow »
« Asymptotic behavior for the cubic nonlinear Schrödinger equation on product spaces »
« Recurrent and diffusive dynamics for the NLS equation on tori »
« On the Vlasov-Maxwell System in the Whole Space »
« Two dimensional water waves »

Les exposés plus traditionnels ont été donnés par S.Bianchini (SISSA), R. Carles (CNRS – IMAG Montpellier), S. Gustafson (University of British Columbia), J. Krieger (EPFL), H. Lindblad (Johns Hopkins University), H. Matano (School of Science, University of Tokyo), N. Pavlovic (University of Texas at Austin), R. Pego (Carnegie Mellon University), S. Roudenko (George Washington University), G. Staffilani (Massachusetts Institute of Technology), T.-P. Tsai (University of British Columbia), N. Visciglia (Universita di Pisa), S. Wu (University of Michigan), sur des thématiques reliées, de près ou de loin, avec les sujets des mini-cours précédents.

> Toutes les vidéos sont sur la chaîne YouTube de l’IHES

L’école d’été bénéficie du soutien de la Société Générale depuis 2006.

Près de 30 orateurs venus de sept pays différents et une centaine de participants ont assisté à la réunion organisée en décembre 2015 par Minus van Baalen, François Képès et Mikhail Gromov pour pour discuter des dernières avancées en biotechnologie cellulaire et moléculaire à
l’IHES.

Depuis que la technologie de l’ADN recombinant a été lancée dans les années 70, la boîte à outils des technologies moléculaires s’est remplie d’une telle abondance de techniques que l’expression « biologie de synthèse » n’est plus un vain mot et représente désormais une réalité, ou du moins presque. Ces avancées soulèvent bien entendu de nombreuses questions en ce qui concerne leurs risques et avantages potentiels. La transformation des processus fondamentaux par voie expérimentale pourrait ouvrir de nouvelles perspectives sur les pressions sélectives qui ont abouti aux systèmes biologiques que nous connaissons actuellement mais aussi mener à de nouvelles applications pratiques.

L’évolution biologique n’a pas l’habitude de produire des « designs » radicalement nouveaux, parce que la sélection naturelle ne s’opère généralement que sur des variantes qui ressemblent pratiquement à tous points de vue à leurs ancêtres. Les grandes ruptures évolutionnaires sont extrêmement rares car il y a très peu de chance que la transformation aléatoire d’un processus fondamental aboutisse à quelque chose de viable. Mais l’ingénierie intelligente est un processus beaucoup plus ciblé, qui fait que la création de nouvelles formes de vie utilisant des processus fondamentalement différents ne relève plus de l’impossible. Pendant la réunion, différents intervenants ont présenté toute une série de méthodes pour transformer les organismes fondamentalement, à de nombreux niveaux.

Par exemple, le système moléculaire qui gère le matériel génétique peut être modifié pour inclure des nucléotides synthétiques (élements de base de l’ADN et de l’ARN) et même les acides aminés nouveaux (composants des protéines). Les organismes qui en résultent peuvent avoir des caractéristiques nouvelles.

« La science frankesteinienne» a sans doute mauvaise réputation, mais elle peut également avoir des avantages concrets. Des bactéries modifiées qui produisent des molécules thérapeutiques sur demande – qui pourraient même suivre des instructions précises pour le faire – contribueront peut-être un jour à lutter contre bien des maladies. À titre d’exemple, les diabétiques pourraient un jour recevoir des implants qui mesurent le taux de glycémie, produisant de l’insuline uniquement lorsque celle-ci est nécessaire, éliminant ainsi le recours régulier aux piqûres aux doigts et aux injections d’insuline.

La modification des systèmes génétiques est en soi un exploit majeur mais, ainsi que l’ont démontré les participants à la réunion, la biologie de synthèse ne s’arrêtera pas là. Par exemple, de nouvelles voies métaboliques ont été conçues et construites pour produire de nouveaux composés. Il deviendra peut-être bientôt possible de concevoir de nouvelles voies métaboliques et d’optimiser des systèmes cellulaires tels que les systèmes immunitaires, pour produire de nouveaux composés et accomplir de nouvelles tâches.

Retrouvez les 38 vidéos de cette conférence sur la chaîne YouTube de l’IHES

« A. Joyal et moi-même avons donné des cours d’introduction les deux premiers jours, suivis de trois jours d’exposés : 11 exposés pléniers et 11 exposés courts donnés pour la plupart par des jeunes. Il y a eu plus d’une centaine de participants, en particulier les deux premiers jours qui ont permis à beaucoup de se familiariser avec le sujet. Les vidéos des cours et des exposés sont aussi très regardées sur internet. Le colloque a illustré la fécondité et l’impact de la notion de topos – introduite par A. Grothendieck à l’IHES dans les années 60 – dans différents secteurs des mathématiques, tels que la géométrie algébrique, l’algèbre, la théorie des nombres, la logique mathématique, l’analyse fonctionnelle, la topologie et la physique mathématique.

Le caractère unifiant de la notion de topos avait déjà été entrevu par Grothendieck, qui comparait le thème du topos à un « lit » ou une « rivière profonde » qui réalise un mariage entre « le monde du continu et celui des structures discontinues ou discrètes », et qui permet de « saisir avec finesse, par un même langage riche en résonances géométriques, une “ essence ” commune à des situations des plus éloignées les unes des autres. »

Après l’introduction des topos par Grothendieck comme pourvoyeurs d’invariants cohomologiques utiles pour la géométrie algébrique (en particulier dans l’optique des conjectures de Weil), de nouvelles perspectives sur la notion de topos ont émergé. D’après W. Lawvere et M. Tierney, les topos peuvent être considérés comme des sortes d’univers mathématiques dans lesquels les constructions familières sur les ensembles restent possibles mais qui sont doués chacun de propriétés spécifiques. D’autre part, la théorie des topos classifiants permet d’associer à toute théorie mathématique d’une forme très générale un topos qui incarne son « contenu sémantique ».

Plus récemment, les topos ont commencé à être utilisés comme des sortes de « ponts unifiants » permettant de relier entre elles des théories mathématiques différentes, d’engendrer et étudier des dualités ou des équivalences, de transférer des notions et résultats entre domaines mathématiques distincts et de démontrer des nouveaux résultats à l’intérieur d’une théorie donnée. »

Olivia Caramello

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A. Ogus est professeur à l’université de Californie à Berkeley, université au sein de laquelle il a également assumé la charge de directeur du département de mathématiques de 2012 à 2015. Il a été chercheur invité de l’IHES à de nombreuses reprises : la première en 1974, la plus importante en 1977-1978 et la plus récente de septembre à décembre 2015. Il a également été invité par diverses universités françaises, en particulier par l’université Paris XI (Orsay) en 1978-1979 puis en 1991.

Son domaine de recherche se situe à la confluence de l’arithmétique et de la géométrie algébrique. Se plaçant dans le sillage des techniques développées par A. Grothendieck et ses collaborateurs, ses idées ont donc naturellement trouvé en France et en particulier à l’IHES des lieux privilégiés où se faire connaître, apprécier et discuter.

Parmi les collaborations au long cours d’A. Ogus qui ont pu en résulter, on peut extraire celle entretenue avec P. Berthelot dès le début des années 70, jalonnée de travaux devenus des classiques: la monographie d’introduction à la cohomologie cristalline (1978) et l’article sur la comparaison entre cohomologie cristalline et cohomologie de De Rham (1983).

Plus récemment, intéressé par L. Illusie à la géométrie logarithmique, A. Ogus en est devenu l’un des meilleurs experts et son livre, très attendu, sur le sujet devrait lui aussi faire référence. Ce ne sont là que deux exemples parmi d’autres des liens forts que l’IHES a contribué à tisser au fil des ans entre A. Ogus et quelques-uns des meilleurs représentants de l’école mathématique française de géométrie arithmétique.

C’est toujours en manifestant une très grande générosité dans le partage de ses intuitions et une grande ouverture d’esprit qu’A. Ogus a passé ses séjours en France. L’IHES souhaitait donc en organisant cette conférence à l’occasion de la célébration de son 70ème anniversaire et de sa visite de quatre mois en son sein, être le premier à manifester sa reconnaissance pour tout le chemin parcouru grâce à lui. Cette conférence a réuni beaucoup des meilleurs experts des thématiques chères à A. Ogus. Elle a permis aux participants d’entrevoir les contours des futurs développements de sujets auxquels il a puissamment contribué et auxquels l’IHES compte bien continuer à apporter son soutien.

> Toutes les vidéos de la conférence sur la chaîne YouTube de l’IHES