Plusieurs mathématiciens affiliés à l’IHES figurent parmi les chercheuses et chercheurs qui ont reçu le prix Frontiers of Science lors du congrès international des sciences fondamentales, dont l’édition inaugurale s’est déroulée à Pékin du 16 au 28 juillet.

Ce prix récompense les résultats de la recherche fondamentale et appliquée publiés au cours des cinq dernières années dans les domaines des mathématiques, de la physique théorique et de l’informatique. Ces résultats doivent être à la fois d’une grande valeur scientifique et d’une grande originalité, et doivent avoir eu un impact important dans l’un de ces trois domaines d’intérêt. Ils doivent également avoir été publiés dans une publication « peer-reviewed ».

Parmi les 134 publications sélectionnées, deux ont été co-écrites par Hugo Duminil-Copin, professeur permanent à l’IHES, professeur à l’Université de Genève et lauréat de la médaille Fields en 2022 :

• Sharp phase transition for the random-cluster and Potts models via decision trees, publié dans Annals of Mathematics en 2019. Cet article a été co-écrit par Hugo Duminil-Copin, Vincent Tassion (ETH Zürich), et Aran Raoufi, qui a passé trois ans à l’IHES entre 2016 et 2019 en tant que doctorant, sous la direction du Prof. Hugo Duminil-Copin.
• Marginal triviality of the scaling limits of critical 4D Ising and $\phi_4^4$ models, publié dans Annals of Mathematics en 2021, co-écrit par Michael Aizenman (Princeton) et Hugo Duminil-Copin.

Trois des articles de recherche sélectionnés pour le prix ont été co-signés par Maxim Kontsevich, professeur permanent à l’Institut :

• Canonical bases for cluster algebras, publié dans Journal of the American Mathematical Society en 2018, et co-signé par Mark Gross (University of Cambridge), Paul Hacking (University of Massachusetts Amherst), Sean Keel (University of Texas), et Maxim Kontsevich.
• Specialization of birational types, publié dans Inventiones mathematicae en 2019, et co-signé par Maxim Kontsevich et Yuri Tschinkel (New York University).
• Wick rotation and the positivity of energy in quantum field theory, publié dans le Quarterly Journal of Mathematics en 2021 et écrit par Maxim Kontsevich et Graeme Segal (University of Oxford).

La liste des publications célébrées lors du Congrès international des sciences fondamentales comprend également « On the implosion of a compressible fluid II : Singularity formation« , publié dans Annals of Mathematics en 2022. Il s’agit de l’un des trois articles co-écrits par Frank Merle, titulaire de la chaire CY Cergy Paris Université-IHES d’analyse, Pierre Raphaël, titulaire de la chaire Schlumberger de sciences mathématiques à l’IHES et professeur à l’université de Cambridge, Igor Rodnianski, professeur à l’université de Princeton, et Jérémie Szeftel, directeur de recherche au CNRS à Sorbonne Université. Outre le Frontiers of Science Award, leurs contributions les plus récentes leur ont déjà valu le Prix Bôcher 2023 de l’American Mathematical Society et le Clay Research Award 2023, décerné par le Clay Mathematics Institute.

Sébastien Boucksom, rédacteur en chef des Publications mathématiques de l’IHES, directeur de recherche CNRS à l’Institut de mathématiques de Jussieu – Paris Rive Gauche, fait également partie des chercheurs distingués à Pékin pour son article intitulé ‘A variational approach to the Yau-Tian-Donaldson conjecture’, publié dans Journal of the American Mathematical Society en 2021 et co-écrit avec Robert J. Berman (University of Gothenburg) et Mattias Jonsson (University of Michigan).

L’IHES est très fier de ces importantes contributions des scientifiques de l’IHES qui se voient récompensés par le prix Frontiers of Science et leur adresse ses sincères félicitations !

Frank Merle, mathématicien et titulaire de la chaire d’analyse CY Cergy Paris Université – IHES, sera à l’honneur lors de la conférence « Advances in Nonlinear Analysis and Nonlinear Waves » organisée pour son soixantième anniversaire, du 22 au 26 mai 2023.

Frank Merle a apporté de nombreuses contributions importantes et séminales à l’étude qualitative des solutions d’équations aux dérivées partielles non linéaires issues de la physique. Son travail a été pionnier dans l’analyse fine des solutions de blowup et de la collision des solitons, ainsi que dans la conjecture de résolution des solitons. Ses travaux révolutionnaires ont eu une grande influence dans le domaine et au-delà.

Tout au long de sa carrière, Frank Merle a reçu de nombreuses distinctions :

• conférencier invité à l’ICM (1998)
• prix Bôcher Memorial, de l’American Mathematical Society (2005)
• médaille d’argent du CNRS (2005)
• ERC Advanced Grant « Blow-up, Dispersion and Solitons » (2011)
• conférencier à l’ICM (2014)
• Grand prix Ampère de l’électricité de France, par l’Académie des Sciences (2018)
• membre de l’Academia Europaea (2020)

L’objectif scientifique de la conférence est double. Tout d’abord, plusieurs experts dans le domaine des équations dispersives et des équations à ondes présenteront leurs récentes avancées. Ensuite, l’objectif est de proposer quelques exposés en analyse au-delà du domaine des EDP dispersives. Les exposés donnés durant ces cinq jours sont destinés à un public général en analyse.

Programme et inscription sur la page web de la conférence.

Retrouvez la liste des conférenciers invités :

• Henri Berestycki, EHESS
• Nicolas Burq, Université de Paris-Saclay
• Simon Brendle, Columbia University
• Maria Colombo, EPFL
• Panagiota Daskalopoulos, Columbia University
• Camillo De Lellis, IAS
• Thierry Giamarchi, Université de Genève
• François Golse, École polytechnique
• Oana Ivanovici, CNRS & Sorbonne Université
• Carlos Kenig, University of Chicago
• Sergiu Klainerman, Princeton University
• Pierre-Louis Lions, Collège de France
• Nader Masmoudi, NYU
• Hiroshi Matano, Meiji University
• Andrea Nahmod, University of Massachusetts
• Felix Otto, Max-Planck Institut fur Mathematik
• Pierre Raphaël, University of Cambridge
• Igor Rodnianski, Princeton University
• Wilhelm Schlag, Yale University
• Sylvia Serfaty, NYU
• Daniel Tataru, UC Berkeley
• Luis Vega, BCAM
• Sijue Wu, University of Michigan

Comité scientifique : M. Dafermos, A.-L. Dalibard, H. Duminil-Copin, T. Duyckaerts, E. Hebey, Y. Martel, G. Ponce, P. Raphaël, L. Saint-Raymond et H. Zaag

Organisateurs : C. Collot, R. Côte, F. Demengel, T. Duyckaerts, J. Jendrej, Y. Lan, E. Logak, Y. Martel, C. Muñoz, P. Raphaël, J. Szeftel, N. Tzvetkov et H. Zaag

Les quatre mathématiciens Frank Merle, titulaire de la Chaire d’analyse CY Cergy Paris Université-IHES, Pierre Raphaël, titulaire de la Chaire Schlumberger pour les sciences mathématiques à l’IHES et professeur à l’université de Cambridge, Igor Rodnianski, professeur à l’université de Princeton, et Jérémie Szeftel, directeur de recherche CNRS à Sorbonne Université et visiteur régulier à l’IHES, ont reçu le Prix Bôcher 2023 de l’American Mathematical Society.

Le prix a été annoncé le 5 décembre, et il reconnaît les contributions remarquables que les lauréats ont publiées dans [1,2,3] établissant l’existence de solutions singulières de l’équation de Schrödinger non linéaire dans le cas défocalisant pour certains régimes supercritiques, et des équations d’Euler et de Navier-Stokes compressibles.

La collaboration qui a conduit à ces résultats a impliqué de longues discussions, aussi bien à distance que devant un tableau, dont beaucoup ont eu lieu à l’IHES. Les quatre chercheurs, qui se connaissent et collaborent sur différents projets depuis de nombreuses années, ont commencé à travailler sur ces problèmes en 2012.

« Les régimes supercritiques étaient un terrain inexploré, nous devions donc développer un cadre théorique complètement nouveau », explique Frank Merle, un mathématicien spécialisé dans les équations aux dérivées partielles, associé à l’IHES depuis 2006 et à temps partiel à CY Cergy Paris Université. « Il n’y avait pas de résultats mathématiques rigoureux, et pendant longtemps, nous avons eu l’impression de marcher dans le noir. Cela a impliqué de nombreux essais et des erreurs aussi, notamment parce que l’intuition basée sur les régimes sous-critiques et critiques s’est révélée ne pas être le meilleur guide pour comprendre des systèmes aussi complexes que l’équation de Schrödinger surcritique dans le cas défocalisant et l’équation de Navier-Stokes compressible. »

Il a fallu environ cinq ans pour trouver la clé qui a permis à l’équipe de résoudre le problème. Il s’agissait là de la première partie de leur travail, sans doute la plus importante : « L’essentiel, Szeftel explique, est de trouver la bonne idée pour se servir d’un point faible du problème, et cela suit un processus que l’on ne peut pas toujours contrôler et qui nécessite une compréhension profonde du problème ».

Après de nombreuses discussions, beaucoup de réflexion, et quelques faux pas, les quatre mathématiciens ont découvert en 2017 qu’une classe spécifique de solutions de l’équation d’Euler compressible pouvait être transposée dans l’équation de Navier-Stokes compressible. Il s’agit là de la clé qui a ouvert la voie pour trouver des solutions singulières de l’équation complète et de l’équation de Schrödinger défocalisante. « La force de notre équipe réside dans la diversité de notre culture scientifique », explique Raphaël. « Cela crée un certain chaos, et nous nous perdons souvent, mais explorer des territoires inconnus en bonne compagnie est la meilleure partie de notre travail ».

La deuxième partie du travail, qui a conduit à la publication d’une impressionnante série de trois articles de plus de 450 pages en tout, a été plus systématique, mais pas pour autant plus facile. Elle a consisté à appliquer les compétences et l’expertise mathématiques que les quatre mathématiciens avaient affinées au cours des années précédentes.

Les simulations numériques et l’intuition mathématique avaient conduit les mathématiciens à écarter la possibilité de solutions singulières pour l’équation de Schrödinger non linéaire dans le cas défocalisant, au point que le médaillé Fields Jean Bourgain, ancien professeur permanent à l’IHES, avait formalisé cela dans une conjecture. Les solutions trouvées par le quartet sont au contraire divergentes, ce qui rend les résultats reconnus par le prix Bôcher 2023 d’autant plus révolutionnaires.

Frank Merle, qui a déjà reçu le prix Bôcher en 2005 pour ses travaux sur l’analyse des équations de dispersion non linéaires, est le seul chercheur à l’avoir reçu deux fois. « Je suis très reconnaissant pour cette récompense. Le prix Bôcher que j’ai reçu en 2005 a beaucoup compté pour moi, car c’était la première fois que mon travail de mathématicien était reconnu à haut niveau. Je suis particulièrement heureux de pouvoir partager ce deuxième prix avec Pierre, Igor et Jérémie ».

Le prix Bôcher est décerné tous les trois ans pour un travail de recherche remarquable en analyse publié dans une revue scientifique au cours des six années précédentes. Le prix 2023 sera décerné le mercredi 4 janvier au cours du Joint Mathematics Meetings de l’AMS à Boston.

 

[1] On the implosion of a compressible fluid II: singularity formation. Ann. of Math. (2) 196 (2022), no. 2, 779–889. arXiv:1912.11009

[2] On the implosion of a compressible fluid I: smooth self-similar inviscid profiles. Ann. of Math. (2) 196 (2022), no. 2, 567–778. arXiv:1912.10998

[3] On blow up for the energy super critical defocusing nonlinear Schrödinger equations. Invent. Math. 227 (2022), no. 1, 247–413. arXiv:1912.11005

Ce programme, qui a réuni plus de 80 grands scientifiques dans le domaine sur trois mois ainsi que de nombreux étudiants pendant l’École d’été, a pu être organisé grâce au soutien de la Commission européenne au travers d’un ERC Advanced Grant (Principal Investigator: F. Merle) « Blow up, dispersion and solitons (Blowdisol) » hébergé par l’université de Cergy-Pontoise. Les contributions de la Société Générale et du Clay Mathematics Institute ont également été cruciales pour l’organisation de l’École d’été qui a conclu ce magnifique trimestre.

Deux des organisateurs du trimestre IHES avaient déjà organisé un semestre thématique à l’IHP au printemps 2009, intitulé « Ondes non linéaires et dispersion ». Ce précédent programme avait pour objectif de faire le point sur près de vingt ans de développements reliés aux équations non linéaires dispersives « modèles », de Korteweg-de-Vries à l’équation de Schrödinger non linéaire en passant par l’équation des ondes sous diverses formes. Cette activité, impulsée surtout aux États-Unis par des chercheurs venus de l’analyse harmonique (C. Kenig, G. Ponce, L.Vega, J. Bourgain) a naturellement rencontré les efforts pionniers menés en Europe par J.Ginibre, G. Velo, J.-C. Saut, puis H. Bahouri, J.-Y. Chemin, P. Gérard, F. Merle et bien d’autres à leur suite. Le programme de 2009 avait connu un fort succès, avec une participation très importante de très nombreux invités étrangers de haut niveau, certains pour la durée du programme, d’autres pour au moins un mois. En quelque sorte, ce programme avait clos un cycle de l’activité dans le champ des équations dispersives, centrée autour des problèmes de Cauchy pour les diverses équations modèles. Dans le même temps, il avait également permis d’exposer divers développements alors récents : l’analyse de modèles explosifs comme Schrödinger focalisant, ou encore les méthodes de concentration-compacité-rigidité (qui ont également essaimé au-delà des modèles dispersifs).

L’activité scientifique du domaine est aujourd’hui, d’une certaine façon, beaucoup plus diversifiée qu’il y a quatre ou cinq ans, et cela se reflète dans l’activité scientifique menée durant ce trimestre thématique à l’IHES : l’analyse des principaux modèles dispersifs jouets s’est déplacée vers des questions délicates reliées à l’asymptotique des solutions, que ce soit dans une description dynamique précise des régimes explosifs ou dans les progrès vers la conjecture de résolution des solitons, avec l’analyse des collisions entre plusieurs solitons, ou bien encore avec l’étude de la stabilité des solutions de type breather. L’émergence d’un corpus de techniques bien identifiées a également permis d’illustrer leur versatilité, avec leur développement fructueux sur des modèles au-delà du dispersif, notamment sur des équations géométriques dispersives encore inabordables il y a peu (par exemple, l’analyse de l’explosion pour les Schrödinger maps) et également, comme déjà mentionné, pour revisiter les équations paraboliques. De manière plus générale, des théorèmes de classification du comportement des solutions de divers modèles non linéaires ne sont plus inatteignables, et le trimestre a vu une activité importante de présentation (séminaires, cours de la fondation Hadamard et à l’École d’été par C.Kenig) des résultats récents de T.Duyckaerts, C.Kenig et F. Merle sur la résolution en solitons des solutions de l’équation des ondes non linéaires focalisante d’énergie critique.

Dans le même temps, une intense activité de développement autour des effets dispersifs se poursuit sur des modèles beaucoup plus délicats, souvent plus proches de la réalité physique. Même des modèles plus simples mais physiques comme l’équation de Dirac (non linéaire) présentent des difficultés non encore rencontrées avec les ondes ou Schrödinger. Le trimestre IHES a permis l’interaction de nombreux chercheurs d’horizons divers sur des modèles fluides comme les « water waves » et plus généralement dans les modèles de type ondes/dispersifs qui apparaissent dans de nombreuses dérivations « asymptotiques » de phénomènes fluides. Les effets dispersifs ont joué un rôle prépondérant dans les résultats d’existence et d’asymptotique les plus récents qui ont été présentés lors des séminaires, des deux conférences et de l’école d’été. Dans le cadre des « water waves », on s’intéresse maintenant surtout à l’asymptotique, et également à des modèles de plus en plus sophistiqués et proches de la réalité physique (tension de surface, profondeur finie, etc.)

De nouveaux développements se produisent, notamment sur le cas 2D, qui est le plus difficile : il y a un phénomène de décollement de phase dans l’étude du scattering qui n’avait jamais été étudié sur un problème quasilinéaire. Tous ces résultats sont prometteurs parce qu’ils introduisent de nouveaux outils, susceptibles d’applications diverses dans le champ des modèles dispersifs fluides et au-delà. L’étude des filaments de vortex connaît également d’intéressants développements en connexion avec les équations dispersives géométriques comme les « Schrödinger maps » ou mKdV, qui ont été présentés pendant le trimestre. Même dans le vide, la compréhension de la géométrie de l’espace-temps passe par l’analyse de délicates équations des ondes quasilinéaires ; de multiples avancées dans le cadre de la relativité générale, dont certaines ont été très directement influencées par les développements rapides de l’analyse des modèles dispersifs, ont été discutées et présentées lors des divers événements du trimestre.

Rappelons que le domaine a ainsi connu ces dernières années plusieurs avancées majeures, de la résolution de la « conjecture de courbure L2 » (S. Klainerman, I. Rodnianski et J. Szeftel) à la stabilité linéaire de la famille de métriques de Kerr (M. Dafermos, I. Rodnianski, D. Tataru, etc.), deux questions où la compréhension des phénomènes dispersifs joue un rôle essentiel. La formation des surfaces piégées (D.Christodoulou, S.Klainerman, I. Rodnianski) rentre également dans le cadre de l’analyse asymptotique, avec des outils très proches de l’analyse microlocale, et le trimestre a été l’occasion d’exposer les plus récents développements sur ces sujets très actifs.

Par ailleurs, les équations linéaires continuent de générer une activité importante, dans des cadres plus proches des modèles physiques réalistes : géométrie « compliquée » (métrique variable, éventuellement peu régulière, présence de conditions au bord, influence de la géométrie de l’environnement sur la propagation et la dispersion). Enfin, signalons une activité en croissance, dans un champ d’investigation à l’interface des EDPs dispersives et des probabilités, qui a connu un Carlos Kenig trimestre ondes non linéaires 5 Oana Ivanovici développement rapide, avec l’étude d’équations dispersives non linéaires où la donnée initiale est choisie presque sûrement dans un espace hors d’atteinte des théories déterministes.

Les objectifs du trimestre IHES étaient multiples : faire un point d’étape sur ce nouveau cycle ouvert il y a quelques années, porter une attention particulière aux jeunes qui travaillent dans ces domaines où la complexité croissante des activités rend le début de carrière de plus en plus difficile. D’autre part, il s’agissait également de rapprocher des chercheurs pour lesquels les points de convergence sont encore plus évidents aujourd’hui qu’ils ne l’étaient en 2009 : citons les importantes communautés françaises de l’étude mathématique de modèles fluides, de la théorie cinétique, des systèmes dynamiques et des équations aux dérivées partielles en lien avec des modèles hamiltoniens en dimension infinie. Aux États-Unis, les activités centrées autour des modèles dispersifs, de la mécanique des fluides et des ondes non linéaires (notamment en lien avec la relativité générale et la physique mathématique) sont en pleine croissance (comme l’a illustré le succès d’un très gros programme thématique au MSRI à l’automne 2015). Toutes ces communautés ont aujourd’hui des recouvrements ponctuels reconnus, l’activité scientifique du trimestre IHES aura permis de fédérer ces activités, en permettant de nombreux échanges fructueux entre scientifiques d’horizon divers.

Le trimestre IHES a été un succès, illustré par un nombre important de professeurs invités restant plusieurs semaines et, pour certain.e.s, plusieurs mois (plus de 80 invité.e.s sur les trois mois), et par une très forte demande pour l’École d’été qui a clôturé le programme scientifique. S’il est trop tôt pour mesurer l’impact scientifique du trimestre lui-même – tout au plus peut-on remarquer que le continuum d’activités depuis l’automne au MSRI jusqu’au Bois-Marie en juillet semble avoir accéléré certains développements -, on peut néanmoins citer quelques tendances : l’objectif de classifier la dynamique de modèles d’équations aux dérivées partielles hamiltonienne n’apparaît plus inatteignable, une résolution complète de la conjecture des solitons sur des modèles non intégrables n’a jamais été aussi proche ; les techniques issues des modèles dispersifs sont maintenant prévalentes dans la plupart des travaux reliés aux équations de la physique mathématique, de la relativité générale et de la mécanique des fluides. Il est frappant de constater que des chercheurs de plus en plus nombreux travaillent de façon indifférenciée sur ces divers thèmes, et que chaque progrès thématique se propage très rapidement à l’ensemble des thèmes connexes.

 

> Retrouvez les vidéos de la conférence de mai et de la conférence de juin sur la chaîne YouTube de l’IHES.

> Plus de détails sur l’école d’été « ondes non linéaires »

 

Le trimestre onde non linéaires s’est conclu par l’École d’été de deux semaines, avec une alternance de mini-cours, destinés à présenter des sujets de recherche actifs, et des exposés de travaux de recherche plus classiques qui ont illustré la diversité et la richesse thématique du trimestre.

Les mini-cours ont été donnés par R. Frank (California Institute of Technology), C. Kenig (University of Chicago), N. Masmoudi (Courant Institute of Mathematical Sciences), B. Pausader (Brown University), M. Procesi (Universita di Roma 1), R. Strain (University of Pennsylvania), D. Tataru (University of California at Berkeley). Ils ont illustré la diversité et la richesse thématique du trimestre, donnons-en les titres (dans l’ordre précédent des orateurs) :
« A microscopic derivation of Ginzburg-Landau theory »
« Soliton resolution for the energy critical wave equation »
« Stability of the 3D Couette Flow »
« Asymptotic behavior for the cubic nonlinear Schrödinger equation on product spaces »
« Recurrent and diffusive dynamics for the NLS equation on tori »
« On the Vlasov-Maxwell System in the Whole Space »
« Two dimensional water waves »

Les exposés plus traditionnels ont été donnés par S.Bianchini (SISSA), R. Carles (CNRS – IMAG Montpellier), S. Gustafson (University of British Columbia), J. Krieger (EPFL), H. Lindblad (Johns Hopkins University), H. Matano (School of Science, University of Tokyo), N. Pavlovic (University of Texas at Austin), R. Pego (Carnegie Mellon University), S. Roudenko (George Washington University), G. Staffilani (Massachusetts Institute of Technology), T.-P. Tsai (University of British Columbia), N. Visciglia (Universita di Pisa), S. Wu (University of Michigan), sur des thématiques reliées, de près ou de loin, avec les sujets des mini-cours précédents.

> Toutes les vidéos sont sur la chaîne YouTube de l’IHES

L’école d’été bénéficie du soutien de la Société Générale depuis 2006.